[Nierówności] Nierówność z różnicą kwadratów

[mol_ksiazkowy]

Wykaż tę nierównośc:......x, y, z są dodatnie:

\(\displaystyle{ \frac{y^{2}-x^{2}}{z+x} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x+y}+\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z} \geq 0}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ \frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}\geq\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x+y}\\\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y}\geq\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y+z}\\\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}\geq\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z+x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{y^{2}-x^{2}}{z+x+y}+\frac{z^{2}-y^{2}}{z+x+y}+\frac{x^{2}-z^{2}}{z+x+y}\geq 0 \\\frac{y^{2}-x^{2}+z^{2}-y^{2}+x^{2}-z^{2}}{x+y+z}\geq 0\\\frac{0}{x+y+z}\geq 0}\)

Hmm wyszła prawda, czyli że suma tamtych wyjściowych ułamków będzie większa od \(\displaystyle{ 0}\). Mam nadzieję, że ten dowód ma jakiś wymierny sens

[jasny]

tylko w tych trzech pierwszych nierównościach znak \(\displaystyle{ \geq}\).

[bolo]

Ale te zmienne są, wedle polecenia, dodatnie. "Nowy" mianownik może być tylko większy.

[jasny]

Chdzi mi o to, że któreś zmienne mogą być sobie równe.

[bolo]

A rzeczywiście, zapomniałem o tym fakcie dając samo "większe".

Już poprawiam.

[mol_ksiazkowy]

Bolo napisał:
\(\displaystyle{ \frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}\geq\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x+y}}\)
hmm.....
\(\displaystyle{ x=2, y=1, z=1}\)

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & z^2 \\ \frac{1}{y+z} & \frac{1}{z+x} & \frac{1}{x+y}\end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{ccc}x^2 & y^2 & z^2 \\ \frac{1}{z+x} & \frac{1}{x+y} & \frac{1}{y+z}\end{array}\right]}\).

Troszke ladniej wyglada ten, ale w sumie to jest to samo:

Niech \(\displaystyle{ (x+y, y+z, z+x) \equiv (a, b, c)}\).

Wtedy nierownosc jest rownowazna:

\(\displaystyle{ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c}\), rownowaznie

\(\displaystyle{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)}\), rownowaznie

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot [(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2]\geq 0}\), qed.