[MIX] Niczego sobie mix

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8426
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2744 razy
Pomógł: 702 razy

[MIX] Niczego sobie mix

Post autor: mol_ksiazkowy » 30 maja 2022, o 22:29

1. Jeśli \(\displaystyle{ S=\{ x_0,..., x_m \}}\) jest skończonym zbiorem liczb, to \(\displaystyle{ Alt(S)=x_0 - x_1+x_2 - ...=\sum_{j} (-1)^{j} x_j }\), przy czym \(\displaystyle{ x_0 > x_1 > x_2 >...}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{S \subset \{ 1,..., n \}} Alt(S).}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ Alt (\emptyset) = 0 }\)
2. Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)(y-1)(z-1) = xyz-1 \\ (x-2)(y-2)(z-2) = xyz-2. \end{cases}}\)
3. Baterie i lampa; Jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) baterii w tym \(\displaystyle{ n}\) wadliwych i \(\displaystyle{ n+1}\) sprawnych, i jest lampa, która aby działała potrzebuje dwie sprawne baterie. Ile prób z bateriami należy wykonać w najgorszym razie by mieć pewność, że lampa będzie działać ?
Ten sam problem gdy jest \(\displaystyle{ 2n}\) baterii; tyle samo sprawnych co wadliwych.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}} } = 3.}\)
5. Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) liczba \(\displaystyle{ m^2+n^2}\) dzieli \(\displaystyle{ m^3+n}\) i \(\displaystyle{ n^3+m}\) ?
6. Zbiór \(\displaystyle{ E}\) ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, zaś \(\displaystyle{ E_1,..., E_m}\) są jego różnymi podzbiorami właściwymi (tj. \(\displaystyle{ E_i \neq E}\)) oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ x \neq y}\) elementów z \(\displaystyle{ E}\) jest tylko jeden podzbiór \(\displaystyle{ E_i }\), który je zawiera.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ m \geq n }\) i wyjaśnić kiedy jest równość.
Kwant
7. Jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)( \sqrt[8]{5}+1) (\sqrt[16]{5}+1) },}\) to obliczyć \(\displaystyle{ (x+1)^{48}.}\)
AIME
8. Czy istnieją funkcje \(\displaystyle{ f, g}\) takie, że \(\displaystyle{ f(g(x))=x^3}\) i \(\displaystyle{ g(f(x))=x^4}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
9. Rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2yy^{\prime \prime} =( y^{\prime} )^2 +y^2 \\ y(0)=0. \end{cases} }\)
Uwagi: Nie uwzględnia się \(\displaystyle{ y \equiv 0.}\)
10. Ośmiu graczy \(\displaystyle{ Z_1,...,Z_8}\) gra w Jai Alai i najpierw grają \(\displaystyle{ Z_1}\) z \(\displaystyle{ Z_2}\), pozostali są oczekujący na grę w kolejce. Po każdej wygranej na boisku pozostaje zwycięzca; zdobywa on też punkt, a przegrany idzie na koniec kolejki; do gry wchodzi pierwszy z kolejki, itd. Gra kończy się gdy ktoś ma już 7 punktów. Wtedy też okazało się iż wszyscy gracze mają łącznie 37 punktów. Kto wygrał grę ?
11. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x^{10}+ 1}{x^6+x^4} = \frac{205}{16}.}\)
12. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 &\text{gdy } x=1 \\ \frac{x}{10} &\text{gdy } x \text{ dzieli się przez } 10 \\ x+1 &\text{gdy żadne z tych}. \end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ d}\) wyraża ilość iteracji argumentu dających jedynkę; np. \(\displaystyle{ d(87)=7}\). Jeśli równanie \(\displaystyle{ d(x)=20}\) ma \(\displaystyle{ m}\) rozwiązań, to obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{p|m \ p \in P} p. }\)
Uwagi: \(\displaystyle{ P}\) to zbiór liczb pierwszych.
AIME
13. Czy istnieje ostrosłup pięciokątny, w którym wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi ?
14. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 8(2t-1)= (t^3+1)^3.}\)
15. Na ile sposobów można ustawić \(\displaystyle{ n}\) gońców na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\), aby żadne z nich nie stały na polach stykających się rogiem, przy czym w każdym wierszu i kolumnie ma być dokładnie jeden ?

16. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x+6} - \sqrt[3]{3x-1}=1.}\)
17. Problemy z prawdopodobieństwa
i) Permutację \(\displaystyle{ T}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n \}}\) nazywa się zrównoważoną, jeśli \(\displaystyle{ |T(i)-i|}\) ma stałą wartość gdy \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) *. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana permutacja jest zrównoważona ?
* np. \(\displaystyle{ T=( _{ 4 5 6 1 2 3} ^{1 2 3 4 5 6 } ) }\)
ii) 25 rycerzy króla Artura siedzi przy okrągłym stole i wylosowano trzech z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród nich są jacyś sąsiedzi ?
18. Producent obwodów scalonych buduje kostki o \(\displaystyle{ 16}\) elementach ustawione w macierzy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\). Dla otrzymania różnych obwodów potrzebuje różnych wzorów połączeń między elementami sąsiednimi w pionie lub w poziomie. Do nałożenia powiązań między elementami w kostce, potrzebny jest szablon wzoru połączeń. Zauważmy, że dla wzorów połączeń (rys) wykorzystany będzie ten sam szablon (jeden rysunek można otrzymać z drugiego przez odbicie symetryczne względem przekątnej). Ile szablonów potrzeba do zrealizowania na kostkach wszystkich możliwych wzorów połączeń ?
19. Skaczące żaby, F-rogi; W każdym z czterech rogów kwadratu jest żaba. Któraś z nich może skoczyć ze swojego miejsca symetrycznie względem punktu \(\displaystyle{ F}\) (symetria środkowa), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach wyznaczonych przez pozostałe trzy żaby. Czy jest możliwym, aby kiedyś jakaś żaba wskoczyła na inną ?
20. Dylemat policjanta; Po telefonie od kapusia Policjant ma informację o miejscu i terminie spotkania pięcioosobowego gangu i może on rozpocząć obserwację ich dziupli, i choć nie zna szefa, to jednak wie, że jest on najwyższego wzrostu wśród nich. Ponieważ gangsterzy opuszczali swą dziuplę pojedynczo, zdecydował że dwóch pierwszych, którzy z niej wychodzili wypuści i aresztuje pierwszego kolejnego, który będzie wyższy od każdego z tej dwójki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że aresztuje szefa gangu ?
Uwagi: Wszyscy gangsterzy są różnego wzrostu.

21. Wyznaczyć wielomian możliwie najniższego stopnia, na wykresie którego są wierzchołki kwadratu i są to punkty kratowe.
22. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c, d, e }\) są różnymi liczbami naturalnymi i \(\displaystyle{ a^4+b^4=c^4+d^4=e^5,}\) to liczba \(\displaystyle{ ac+bd}\) jest złożona.
Nowa Zelandia
23. Liczby \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) dają co najmniej \(\displaystyle{ k+1}\) różnych reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n+k}\). Udowodnić, że suma niektórych z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ n+k.}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ n>k}\)
24. Wyznaczyć rekurencję dla ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{1} , \frac{1}{7}, \frac{7}{25} , \frac{25}{97} , \frac{97}{373},… }\) i udowodnić, iż ma on granicę \(\displaystyle{ \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{4}}.}\)
25. Ile może być maksymalnie cykli długości
i) \(\displaystyle{ 3}\)
ii) \(\displaystyle{ 4 }\)
w digrafie o \(\displaystyle{ n }\) wierzchołkach ?
26. Przy okrągłym stole siedzi nieparzysta liczba kobiet i taka sama liczba mężczyzn. Udowodnić, że istnieje osoba, mająca za obu sąsiadów kobiety.
27. Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ m }\) punktów i wszystkie odległości między nimi są różne. Każdy z punktów łączy się odcinkiem z najbliższym mu punktem; powstaje graf połączeń. Jaki może być maksymalny stopień wierzchołka w takim grafie ?
I czy zależy to od \(\displaystyle{ m }\) ?
28. Zbiory \(\displaystyle{ A_1,...,A_n }\) są trzyelementowymi podzbiorami \(\displaystyle{ X}\), a także \(\displaystyle{ |A_j \cap A_j| \leq 1 }\) gdy \(\displaystyle{ i \neq j }\). Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ A \subset X }\) taki, że \(\displaystyle{ |A| \geq 2\sqrt{n} }\) i żaden zbiór \(\displaystyle{ A_i }\) nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ A.}\)
29. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\) są punkty \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ CN=NM=MB}\). Prosta równoległa do \(\displaystyle{ AC}\), na której nie ma ani \(\displaystyle{ N}\) ani \(\displaystyle{ M}\), ma punkty wspólne z \(\displaystyle{ AB}\) tj. \(\displaystyle{ D,}\) z \(\displaystyle{ AM}\) tj. \(\displaystyle{ E}\) i z \(\displaystyle{ AN}\) tj. \(\displaystyle{ F}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ EF=3DE.}\)
30. Nierówność: Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b> 0 \\ a+b <1,}\) to
\(\displaystyle{ \frac{(a-1)^2+b(2a-b)}{(b-1)^2+a(2b-a)} \geq \min \{ \frac{a}{b}, \frac{b}{a} \}.}\)
Ukryta treść:    
Załączniki
Snap5.jpg
Snap5.jpg (6.41 KiB) Przejrzano 1349 razy
Ostatnio zmieniony 10 cze 2022, o 16:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8198
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: kerajs » 31 maja 2022, o 10:04

21:    

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3579
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 1241 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: Janusz Tracz » 31 maja 2022, o 11:07

4:    
7:    
9:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20339
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 3449 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: a4karo » 31 maja 2022, o 12:41

21:    

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9807
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2221 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: Dasio11 » 31 maja 2022, o 13:47

1:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15569
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 177 razy
Pomógł: 5172 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: Premislav » 1 cze 2022, o 02:50

11.:    
14.:    
16.:    
24.:    

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9807
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2221 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: Dasio11 » 1 cze 2022, o 10:04

8:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8198
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: kerajs » 2 cze 2022, o 06:37

2:    
3:    
12:    
13:    
17:    
20:    
26:    
29:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15569
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 177 razy
Pomógł: 5172 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: Premislav » 5 cze 2022, o 15:01

30.:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8426
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2744 razy
Pomógł: 702 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 cze 2022, o 13:21

9 ciąg dalszy
Ukryta treść:    

:arrow: Nierozwiązane są: 5,6,10,15,18,19,22,23,25,,27,28.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4685
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 115 razy
Pomógł: 452 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: arek1357 » 13 cze 2022, o 10:48

W zadaniu 28 nie pasuje mi ta nierówność dla takiego zestawu:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\} }\)

Przestrzeń w której się dzieje ta powieść,

\(\displaystyle{ A_{1}=\left\{ 1,2,3\right\} }\)

\(\displaystyle{ A_{2}=\left\{ 3,4,5\right\} }\)

\(\displaystyle{ A_{3}=\left\{ 5,6,7\right\} }\)

\(\displaystyle{ A_{4}=\left\{ 1,4,6\right\} }\)

\(\displaystyle{ A_{1}=\left\{ 2,4,7\right\} }\)

Te zbiory parami spełniają warunki zadania

Teraz zbiór A wychodzi mi, że będzie co najwyżej czteroelementowy bo jak dodamy piąty element to pokryje któryś zbiór, np.:

\(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,4,5\right\} }\)

co da nam:

\(\displaystyle{ |A|=4}\)

\(\displaystyle{ n=5}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ 4 \ge 2 \sqrt{5} }\)

A tak nie jest

Może nie dopatrzyłem i \(\displaystyle{ A}\) może być pięcioelementowe...

Dodano po 1 godzinie 11 minutach 19 sekundach:
W zadaniu 6 jeżeli każde dwa różne punkty mają być przydzielone do jednego zbioru to teoretycznie tych zbiorów winno być:

\(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)

Ale możemy zejść z tego wyniku w taki np. sposób:

niech:

\(\displaystyle{ E=\left\{ 1,2,3,...,n\right\} }\)

\(\displaystyle{ E_{1}=\left\{ 1,2,3,...,n-1\right\} }\)

\(\displaystyle{ E_{2}=\left\{ 1,n\right\} }\)

\(\displaystyle{ E_{3}=\left\{ 2,n\right\} }\)

\(\displaystyle{ E_{4}=\left\{ 3,n\right\} }\)

................................................

\(\displaystyle{ E_{n}=\left\{ n-1,n\right\} }\)

Z takiego układu raczej niżej nie zejdziemy a wszystko co inne będzie większe lub równe...

Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Kazde dwa elementy będą w jednym zbiorze...

Dodano po 2 dniach 1 godzinie 1 minucie 5 sekundach:
W zadaniu 15 można tak indukcyjnie gońce jako punkty na szachownicy i teraz łatwo zauważyć, że na szachownicy:

\(\displaystyle{ 2 \times 2, 3 \times 3}\)

Nie może być takiej sytuacji bo z warunków zadania jeżeli goniec jest postawiony na współrzędnej:

\(\displaystyle{ (i,j)}\)

To punkty:

\(\displaystyle{ (i-1,j) (i,j-1) (i-1,j-1) (i,j+1) (i+1,j) (i+1,j+1) (i-1,j+1) (i+1,j-1)}\)

Nie mogą być obsadzone gońcami jeżeli \(\displaystyle{ (i,j)}\) leży w rogu lub na krawędzi to oczywiście tych punktów które nie mogą być obsadzone będzie mniej...

Łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n=4}\) będzie tylko dwie możliwości

Dla \(\displaystyle{ n=5}\) zrobimy coś na kształt a la rekurencji w kwadracie \(\displaystyle{ 5 \times 5}\) wybieramy cztery kwadraty \(\displaystyle{ 4 \times 4}\)
Wtedy nieobsadzone będą cztery narożniki więc będzie:

\(\displaystyle{ 4*2}\)

A to prowadzi nas do prostej rekurencji na rozmieszczenia w kwadracie \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=4 \cdot a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{2},=a_{3}=0, a_{4}=2,...}\)

Co da nam wzór:

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{2n-7} , n \ge 4}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8198
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: kerajs » 17 cze 2022, o 08:39

arek1357 pisze:
15 cze 2022, o 13:02
W zadaniu 15 (...)
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{2n-7} , n \ge 4}\)
Z powyższego wzoru wychodzi \(\displaystyle{ a_4=2 \ , \ a_5=8 \ , \ a_6=32}\) , podczas gdy w rzeczywistości \(\displaystyle{ a_4=2 \ , \ a_5=14 \ , \ a_6=90}\). Błędnym jest założenie, iż wszystkie układy otrzyma się z wyboru
arek1357 pisze:
15 cze 2022, o 13:02
w kwadracie \(\displaystyle{ 5 \times 5}\) wybieramy cztery kwadraty \(\displaystyle{ 4 \times 4}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4685
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 115 razy
Pomógł: 452 razy

Re: [MIX] Niczego sobie mix

Post autor: arek1357 » 18 cze 2022, o 11:43

masz racje wiem gdzie błąd

ODPOWIEDZ