[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 21 kwie 2022, o 23:57

pozwolę sobie przepisać jedno z oficjalnych rozwiązań

Rozważmy \(n \times n\)-macierz \(A\) o wyrazach \(a_{i,j} = \sqrt{|x_i+x_j|} - \sqrt{|x_i-x_j|}\). Należy wykazać, że \(\vec e^TA\vec e \ge 0\) gdzie \(\vec e\) jest wektorem "jedynkowym". Zamiast tego udowodnimy, że ta nierówność zachodzi dla dowolnego wektora \(\vec e \in \mathbb R^n\), czyli że macierz \(A\) jest dodatnio półokreślona.

W tym celu wystarczy znaleźć prehilbertowską przestrzeń \(V\) i przekształcenie \(f\colon \mathbb R \to V\) takie, że \(a_{i,j}=\langle f(x_i), f(x_j)\rangle\). W rzeczy samej, to jest równoważne dodatniej półokreśloności \(A\). Jednym z możliwych wyborów przestrzeni \(V\) i przekształcenia \(f\) są \(V = L_2(\mathbb R_+)\) i \(f(x)=c \cdot \dfrac{\sin(xt)}{t^{3/4}} \in L_2(\mathbb R_+)\) dla pewnej konkretnej dodatniej stałej \(c\). By udowodnić równość \(a_{i,j} = \langle f(x_i), f(x_j)\rangle\), rozważmy następującą całkę zależną od rzeczywistego parametru \(p\): $$I(p) = \int_0^\infty \frac{1-\cos(px)}{x\sqrt x} \dd x,$$
która oczywiście jest zbieżna do liczby dodatniej. Przez zamianę zmiennej \(y=|p|x\) widzimy, że \(I(p)=\sqrt{|p|}I(1)\). Zatem, korzystając ze wzoru \(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta\), otrzymujemy $$\sqrt{|a+b|}-\sqrt{|a-b|} = \frac{1}{I(1)}\int_0^\infty \frac{\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)}{x\sqrt x} \dd x = \frac{1}{I(1)} \int_0^\infty \frac{2\sin(ax)\sin(bx)}{x\sqrt x} \dd x,$$
co oczywiście daje \(a_{i,j}=\langle f(x_i),f(x_j)\rangle\) dla \(c=\sqrt{2/I(1)}\)

------------------------

nowe zadanie: dane są liczby \(a\ge b\ge c\ge d\ge 1\) spełniające \(bc<ad\)

rozstrzygnąć, która liczba jest większa: \(a^{2021}+b^{2022}+c^{2022}+d^{2021}\) czy \(a^{2022}+b^{2021}+c^{2021}+d^{2022}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15543
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 5166 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 22 kwie 2022, o 06:05

Ukryta treść:    
Dodano po 37 minutach 15 sekundach:
No dobra, użycie tutaj Karamaty było przesadą nawet jak na mnie, nic dziwnego, że cokolwiek robię, przegrywam.
wersja elementarna:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20202
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: a4karo » 22 kwie 2022, o 07:37

Dowód z Karamatą jest ładniejszy (i idzie również w ogólnym przypadku).

Pytanie o Wolfram pozostaje otwarte.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15543
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 5166 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 23 kwie 2022, o 00:44

Widocznie wolfram coś źle liczy, bądź, co bardziej prawdopodobne, karmię go złymi syntaktycznie napisami; rzadko używam Karamaty, więc myślałem, że mogłem coś zepsuć (ale teraz nie sądzę), ale w drugiej metodzie niczego nie zepsułem; to jeszcze potrafię ocenić.

Tymczasem podrzucam kolejne zadanko.

Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2\ldots a_n>0}\), zaś \(\displaystyle{ n\ge 2}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\max\left\{a_1, a_{2}\ldots a_i\right\}\cdot \min \left\{a_i, a_{i+1}, \ldots a_n\right\}\le \frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum_{i=1}^na_i^2}\).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 3 maja 2022, o 20:45

masz jakieś zgrabniejsze rozwiązanie od poniższego?
Ukryta treść:    
nowe :arrow: \(a,b,c>0, a+b+c=3 \implies (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\le 12\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15543
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 5166 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 5 maja 2022, o 13:13

Ja nie umiałem w ogóle udowodnić poprzedniej nierówności, ale uznałem, że jest dość nietypowa i chciałbym poznać dowód. To są Chiny Zachodnie 2017, zadanie 8 (wygooglować ładniejszego rozwiązania też mi się nie udało, ale to pewnie moja nieudolność, choć nie uważam, żeby Twoje było jakkolwiek niezgrabne).
bieżące:    
Coś za łatwo poszło, więc poczekam z wrzuceniem następnego zadania.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 5 maja 2022, o 17:15

solw jest wporzo, czekamy na nową nierówność :!:

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15543
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 5166 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 8 maja 2022, o 08:38

Liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2\ldots a_n}\) spełniają zależność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{1}{1+a_i}\le 1}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{1}{2^{a_i}}\le 1}\).

ODPOWIEDZ