[MIX] Mix matematyczny 44

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7570
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2673 razy
Pomógł: 692 razy

[MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: mol_ksiazkowy » 14 sty 2022, o 18:15

1. Niech \(\displaystyle{ k }\) będzie dodatnią liczbą całkowitą. Na przyjęciu spotkało się \(\displaystyle{ n > 2}\) gości, spośród których niektórzy znają się. Okazało się, że dla każdego niepustego podzbioru gości \(\displaystyle{ A}\) istnieje osoba, która zna co najwyżej \(\displaystyle{ k }\) osób z \(\displaystyle{ A}\). Podzbiór gości, spośród których każde dwie się znają, nazywamy kilką. Wykazać, że istnieje co najwyżej \(\displaystyle{ 2k n}\) klik.
2. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{ \{ x \} }= \lfloor x \rfloor +1. }\)
3. Niech \(\displaystyle{ k }\) i \(\displaystyle{ s }\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3k-2} \leq s \leq \sqrt{4k}}\). Udowodnić, że istnieją liczby całkowite nieujemne \(\displaystyle{ t, u, v, w}\) takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}k = t^2+u^2+v^2+w^2 \\ s=t+u+v+w. \end{cases}}\)
4. Na ile sposobów może wędrować goniec na szachownicy rozmiaru \(\displaystyle{ m }\) z jednego jej rogu do przeciwległego, jeśli na żadnym polu nie może być więcej niż jeden raz ?
5. Nierówność
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 9a^2+8ab+7b^2 \leq 6 }\) to \(\displaystyle{ 7a+5b+12ab \leq 9. }\)
6. Wyznaczyć wszystkie rosnące bijekcje \(\displaystyle{ f }\) zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) w siebie takie, że \(\displaystyle{ f(x)+ f^{-1}(x)=2x }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR. }\)
\(\displaystyle{ f^{-1} }\) oznacza funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f }\)
7. Równoległościan
Długości boków i przekątnych równoległościanu są całkowite. Wykazać że przy tym założeniu długości wszystkich przekątnych są albo parzyste, albo wszystkie są nieparzyste.
8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ a^7 +64a^2}\), jeśli \(\displaystyle{ a^3+4a=8.}\)
9. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a,b }\) , względnie pierwszych takich, że \(\displaystyle{ \frac{a^2-5}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b^2-5}{a}}\) też są całkowite.
10. Udowodnić że jeśli funkcja liniowo-ułamkowa (w arytmetyce modulo \(\displaystyle{ p}\); gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą) ma trzy punkty stałe, to jest identycznością.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 18:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8097
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 267 razy
Pomógł: 3168 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: kerajs » 14 sty 2022, o 19:47

2:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19809
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3366 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: a4karo » 14 sty 2022, o 20:06

8:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15402
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 174 razy
Pomógł: 5132 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: Premislav » 14 sty 2022, o 20:26

5.:    

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19809
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3366 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: a4karo » 14 sty 2022, o 21:31

Premislav pisze:
14 sty 2022, o 20:26
5.:    
Jak się zauważa takie rzeczy?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15402
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 174 razy
Pomógł: 5132 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 44

Post autor: Premislav » 14 sty 2022, o 22:12

Dużo praktyki, kilka lat temu nie umiałem zwinąć nawet najprostszych rzeczy i wszystko leciało z wyróżników. :D Natomiast można zaproponować odrobinę bardziej usystematyzowane rozwiązanie.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ