[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7310
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 951 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Kartezjusz » 25 sie 2021, o 23:40

24 też nierozwiązane

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7310
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 951 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Kartezjusz » 7 lis 2021, o 17:15

mol_ksiazkowy pisze:
10 maja 2021, o 12:34
:arrow: Nierozwiązane są : 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 28 (11 zadań).
21 też nietknięte

Dodano po 1 godzinie 28 minutach 35 sekundach:
Zad 19
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4215
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 420 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: arek1357 » 10 lis 2021, o 23:18

Już tknę 21

Pokaże to na przykładzie, który się sprawdza a mianowicie , sumowanie z góry na dół powinno zawsze dawać:

\(\displaystyle{ 2n+1}\)

Pokażę to na przykładzie:

\(\displaystyle{ n=8, 2n=16}\) - będzie wiadomo o co biega:


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\9&10&11&12&13&14&15&16\end{bmatrix}}\)

Jak widać ani wierszem ani po kolumnach nie wychodzi to samo, ale zróbmy na razie kolumnowo, żeby było to samo:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\16&15&14&13&12&11&10&19\end{bmatrix}}\)

Tak być musi bo z góry na dół daje \(\displaystyle{ 17}\) w ogólności powinno: \(\displaystyle{ 2n+1}\)

Teraz zajmiemy się wierszami i pokażę, że góra od dołu różni się tak naprawdę o \(\displaystyle{ 8}\)

mamy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\16&15&14&13&12&11&10&9\end{bmatrix}}\)

Teraz dolny wiersz:

Od każdego elementu z dolnego wiersza odejmijmy 8 i zapiszmy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \color{red}{1}&\color{red}{2}&\color{red}{3}&\color{red}{4}&\color{red}{5}&\color{red}{6}&\color{red}{7}&\color{red}{8}\\8&8&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&\color{red}{8}&8&8&\\8&7&6&5&4&3&2&1\end{bmatrix}}\)

Teraz będziemy sumować góra dół po kolumnach tak jak lecą kolory:

Jednakowe kolory dodajemy po kolumnach:

Dodajemy teraz czerwone kolory i czarne kolory kolumnowo:

I otrzymamy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&11&12&13&14&7&8\\16&15&6&5&4&3&10&9\end{bmatrix}}\)

Jak widać taki myk możliwy jest jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) rozkłada się równomiernie między pierwszym a trzecim wierszem...

Znaczy:

\(\displaystyle{ n}\)-ki które wędrują do pierwszego wiersza (kolor czerwony) jest ich - \(\displaystyle{ k}\)

Musi być więc:

\(\displaystyle{ 2k+1=n-2k+1}\)

\(\displaystyle{ 4k=n}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{n}{4} }\)

Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...

cnd...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8084
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 3164 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: kerajs » 11 lis 2021, o 09:55

arek1357 pisze:
10 lis 2021, o 23:18

Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...

cnd...
Moim zdaniem to każda parzysta większa od 2. Przykład dla \(\displaystyle{ n=6 \ : \\
\begin{bmatrix} 12&2&10&4&5&6\\1&11&3&9&8&7 \end{bmatrix}}\)


8:    
28:    

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4215
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 420 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: arek1357 » 11 lis 2021, o 13:40

Jeszcze inne podejście do zadania 28:

W ciele: \(\displaystyle{ Z_{17}}\) jest tylko jedna liczba spełniająca warunek zadania a mianowicie:

\(\displaystyle{ 3^5=5}\)

co w przełożeniu na naturalne mamy:


\(\displaystyle{ 3^{5+16x}=5+17y \mod 17}\)

Teraz kiedy:

\(\displaystyle{ 5+16x=5+17y}\)

lub:

\(\displaystyle{ 16x=17y}\)

czyli:

\(\displaystyle{ x=17k , y=16k}\)

co da nam:

\(\displaystyle{ n=5+16 \cdot 17k=5+272k}\)

\(\displaystyle{ n=5+272k}\) - dla nich spełnia...

(co jak widać nie daje wszystkich)...

Dodano po 1 dniu 5 godzinach 37 minutach 54 sekundach:
Winien jestem do 21 pokazać dla parzystych n ale niepodzielnych przez 4 jak uogólnić sprawę bo dla podzielnych fajnie się wykonało ale to niepełne,
otóż rozpiszę:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&n-1&n-2&...& \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&...&n \\ 1&2&3&...& \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)

Sumy po kolumnach są takie same trzeba rozdzielić \(\displaystyle{ n}\) ki... enek jest: \(\displaystyle{ n+2}\) w każdym wierszu winno być ich: \(\displaystyle{ \frac{n}{2}+1}\)

Permutujemy od drugiej do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}-1 }\) - kolumny mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n&2&3&...& \frac{n}{2}+1 & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1 \\ n&n&n&...&n&n&n&...&n \\ 1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} & \frac{n}{2}& \frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)

I teraz sumujemy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2n&2+n&3+n&...& \frac{n}{2}+1+n & \frac{n}{2}+1& \frac{n}{2}&...&1+n \\1&n-1&n-2&...& \frac{n}{2} &n+\frac{n}{2}& n+\frac{n}{2}+1&...&n \end{bmatrix}}\)

Teraz powinno być ok...

ODPOWIEDZ