[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7307
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 949 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Kartezjusz » 16 paź 2016, o 16:53

Kicaj. Dajesz zadanie.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Msciwoj » 5 wrz 2021, o 17:40

Znalazłem takie zadanie i nie umiem go zrobić. Mam wrażenie że pojawiło się wcześniej na jakimś polskim konkursie/obozie, ale nie udało mi się go znaleźć. Być może pomyliło mi się z innym zadaniem. Nie chcę tworzyć nowego tematu, a to jest wątek o wielomianach, więc wrzucam tutaj.

Dany jest wielomian o współczynnikach rzeczywistych \(\displaystyle{ P(x)}\). Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) tworzymy następujący wielomian:

\(\displaystyle{ Q_n(x) = (x+1)^n P(x) + x^n P(x+1)}\)

Dowieść, że \(\displaystyle{ Q_n}\) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 444 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: timon92 » 14 wrz 2021, o 13:06


ODPOWIEDZ