[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Oddaję kolejkę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Dowolna osoba może zaproponować następne zadanie.

I tą osobą będę ja, hahaha.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in (0,1)}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a^b (a+b)^c (a+b+c)^d\ge \frac{a}{a+b+c+d}}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Dobra, sorry, ale ten wątek nie ma racji bytu, skoro nikt się nie chce bawić. Dowolna osoba może wstawić swoje zadanie, przy czym nie będę to ja.
Rozwiązanie:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

niech \(s, r, R\) oznaczają połowę obwodu trójkąta \(ABC\), promień okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) oraz promień okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\)

dowieść, że \(\displaystyle s^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} r^2 + (4+\sqrt{17})R^2\) i rozstrzygnąć, dla jakich trójkątów zachodzi równość
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Nikt mnie chyba nie posądzi o rozwiązanie zadania, jeżeli dam podpowiedź.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

najmocniej przepraszam, w treści zadania jest pomyłka

powinno być \(\displaystyle s^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} R^2 + (4+\sqrt{17})r^2\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

z grubsza o to chodziło, sprowadzenie sprawy do trójkątów równoramiennych i jakaś pałowanka nierówności wielomianowej czwartego stopnia jednej zmiennej

nie sprawdzałem dokładnie rachunków, ale mnie wychodzi inny trójkąt spełniający równość i 10 lat temu też mi wychodził inny (ten mój ma ramię dłuższe od podstawy, a Twój nie...)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 »

tak, równość zachodzi dla trójkąta \((2,2,\sqrt{17}-3)\)

dla trójkąta \((2,2,7-\sqrt{17})\) w pierwszym szacowaniu nie ma równości: \(2R^2+10Rr-r^2+2\sqrt{R(R-2r)^3}> s^2\), więc w wyjściowej nierówności też nie ma równości

ja to liczyłem inaczej, mianowicie po wyrażeniu wszystkiego w terminach \(s=x+y+z, t=xy+yz+zx, u=xyz\), gdzie \(x=s-a, y=s-b, z=s-c\) widać, że "najgorszy" przypadek jest gdy \(t\) jest najmniejsze przy ustalonych \(s,u\)

to sprowadza sprawę do badania trójkątów równoramiennych, więc kładziemy \(y=z\) i dalej łatwo

czekamy na nową nierówność :!:
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Masz rację, tu się mści moje lenistwo - nie chciało mi się wklepać nigdzie wyników, by je sprawdzić. Nie tylko to zresztą. Regułą jest, że równość w "najlepszym" szacowaniu: \(\displaystyle{ 2R^2+10Rr-r^2+2\sqrt{R(R-2r)^3}\ge s^2\ge 2R^2+10Rr-r^2-2\sqrt{R(R-2r)^3}}\) zachodzi z góry dla trójkątów równoramiennych "wysokich", a z dołu dla równoramiennych "szerokich" (+ z obu stron dla równobocznych). To się oczywiście i tutaj zgadza (tym razem już sprawdziłam), to również znajduje analogię w pqr/uvw.
Chciałabym zrezygnować z zadawania, bo zbyt dużo tu było zamieszania, ale zamiast tego dam coś, co stosunkowo łatwo będzie przejąć.

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) spełniają zależność \(\displaystyle{ abc=1}\). Udowodnij, że $$10\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3k}{a+b+c}\ge k+30$$ dla \(\displaystyle{ k}\) równego: a) \(\displaystyle{ 15}\), b) \(\displaystyle{ 24}\), c) \(\displaystyle{ 26}\), d) \(\displaystyle{ 27}\).
Wystarczy rozwiązać zadanie dla jednej z podanych wartości \(\displaystyle{ k}\).

Po podaniu rozwiązania, przy braku odzewu z mojej strony przez kilka godzin, proszę kontynuować łańcuszek.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Nie chce mi się babrać z tym wielomianem, heh. Nowe zadanie:
Niech \(\displaystyle{ n\in\NN^+}\). Proszę udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots x_{n}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: chyba można już odświeżyć...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ostatnia nierówność to oczywiście IMO 2021, zadanie 2.
ODPOWIEDZ