[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1600
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 425 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 5 cze 2021, o 11:06

Ukryta treść:    
Oddaję kolejkę.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15346
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5107 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 cze 2021, o 00:29

Dowolna osoba może zaproponować następne zadanie.

I tą osobą będę ja, hahaha.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d\in (0,1)}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a^b (a+b)^c (a+b+c)^d\ge \frac{a}{a+b+c+d}}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15346
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5107 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 20 cze 2021, o 12:57

Dobra, sorry, ale ten wątek nie ma racji bytu, skoro nikt się nie chce bawić. Dowolna osoba może wstawić swoje zadanie, przy czym nie będę to ja.
Rozwiązanie:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1554
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 440 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 20 cze 2021, o 15:53

niech \(s, r, R\) oznaczają połowę obwodu trójkąta \(ABC\), promień okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) oraz promień okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\)

dowieść, że \(\displaystyle s^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} r^2 + (4+\sqrt{17})R^2\) i rozstrzygnąć, dla jakich trójkątów zachodzi równość

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1600
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 425 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 18 lip 2021, o 08:23

Nikt mnie chyba nie posądzi o rozwiązanie zadania, jeżeli dam podpowiedź.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ