[MIX] Mix matematyczny (30)

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Kartezjusz »

Zad 15. Nigdzie nie widzę rozwiązania.
Ukryta treść:    
.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: a4karo »

2:    
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Kartezjusz »

Uzupełnienie do 25
Ukryta treść:    
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Kartezjusz »

Zadanie 3

Czy zakładamy, że jeśli król trafi do zamku, który odwiedził, to też w nim nocuje?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: mol_ksiazkowy »

3 cd

No chyba owszem...
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: kerajs »

Uwagi do 3:    
17:    
28:    
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Kartezjusz »

Ad 28.
Ukryta treść:    
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Odpowiadam Kartezjuszowi:
Ukryta treść:    
Dodano po 7 godzinach 49 minutach 12 sekundach:
Nie zgodzę się z dotychczasowymi odpowiedziami 30. Proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.
Ukryta treść:    
Dodano po 1 dniu 56 minutach 19 sekundach:
10.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: kerajs »

Zadanie Szachownica 16 na 16 przekierowało mnie w ten temat, więc uzupełniam:

Ad 28
Ukryta treść:    


Ad 10
Ukryta treść:    

O ile dobrze patrzę, to brakuje jeszcze rozwiązań zadań 3,18a, 20 i 27.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: arek1357 »

Zadanie 20

\(\displaystyle{ 1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,...}\)

Według wytycznych:

\(\displaystyle{ g(1)=1}\)

\(\displaystyle{ g(2)=3}\)

\(\displaystyle{ g(3)=5}\)

\(\displaystyle{ g(4)=8}\)

\(\displaystyle{ g(5)=11}\)

\(\displaystyle{ g(6)=15}\)

\(\displaystyle{ g(7)=19}\)

\(\displaystyle{ .......}\)

funkcja charakterystyczna funkcji \(\displaystyle{ g}\) to:


\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^2-x-1}{(x-1)^3(x+1)} }\)

co daje nam ciąg:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2n^2+8n+(-1)^n-1}{8} }\)

(przesunięty o jeden)

Dalej można wyliczać sobie...

Dodano po 6 minutach 1 sekundzie:
Co do zadania 3 to są jakieś głupoty jakby policzyć zamki to by było ich razem \(\displaystyle{ 61 }\) razem z zamkiem króla, król se chodzi ścieżkami,
ścieżek jest po trzy z każdego zamku nie wiem czy rycerskiego czy z królewskim też ale jakby to zapisał tak:

\(\displaystyle{ 3 \cdot 61=2k}\)

\(\displaystyle{ 3 \cdot 60+2=2s}\)

Więc nie wiem czy te 60 to tylko rycerskie zamki czy 61 razem z królewskim i ile dróg odchodzi od królewskiego zamku bo inaczej wychodzą głupoty...
Ostatnio zmieniony 24 sty 2023, o 23:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: charakterystyczna.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: Dasio11 »

Zadanie piąte też jest nierozwiązane.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: kerajs »

& Arek1357, dotyczy zadania 3.
Ukryta treść:    
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny (30)

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

5. Przez \(f^n\) będę oznaczał \(n\)-tą iterację funkcji \(f\), tzn. \(f^0(x)=x\), \(f^{n+1}(x) = f(f^n(x)\).

Najpierw zauważmy dość prosty fakt, że \(f(0)=0\) oraz \(f(x)<x\) dla \(x\in(0,1]\).
Ukryta treść:    
Przejdźmy już do właściwego rozwiązania.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ