[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6494
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 maja 2015, o 10:18

1. Rozwiązać równanie diofantyczne:
\(\displaystyle{ x^3 - y^3=2xy + 8}\)
1220 ntp
2. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}\) może być kwadratem liczby całkowitej jeśli \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są różnymi liczbami naturalnymi ?
3. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ 2a-1}\) i \(\displaystyle{ 2b+1}\) są względnie pierwsze i \(\displaystyle{ a+b}\) dzieli \(\displaystyle{ 4ab+1}\) ?
4. Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ 6k^2 + 3k = 2n^2 - 2n}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
5. Dane są liczby całkowite nieparzyste \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ n^2 - 1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ m^2 - n^2+1}\).
Udowodnić że \(\displaystyle{ m^2 - n^2+ 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej
6. i) Udowodnić, że nie istnieje 11-to wyrazowy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi nie większymi niż \(\displaystyle{ 20 000}\)
ii) Jaki jest najdłuższy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi mniejszymi od \(\displaystyle{ M=1000}\) ?
iii) jak w ii) dla \(\displaystyle{ M=100}\)
Wskazać stosowne przykłady.
7. Wyznaczyć liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\) aby \(\displaystyle{ 2015 =a^2 +b^2 - c^2}\)
8. Niech \(\displaystyle{ S = \{ 105, …., 210 \}}\). Wyznaczyć najmniejsze możliwie \(\displaystyle{ n}\) by w każdym \(\displaystyle{ n}\) elementowym podzbiorze \(\displaystyle{ S}\) były jakieś liczby, które nie są względnie pierwsze.
104 ntp
9. Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ b^2 =ac}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}}\) jest liczbą całkowitą
Czy także odwrotnie ?
10. Czy istnieje liczba co najmniej trzycyfrowa, której jedynie pierwsza i ostatnia cyfra są rożne od zera i która jest kwadratem liczby całkowitej ?
Czy taka liczba mogłaby być sześcianem bądź inną potęgą liczby całkowitej ?

11. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ a^2+b^3}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^2}\) są kwadratami liczb całkowitych ?
12. Żadna z liczb: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ a+ d}\), \(\displaystyle{ a+ 2d}\), …, \(\displaystyle{ a+ (n-1)d}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ n}\) nie są względnie pierwsze.
13. Czy istnieją inne niż \(\displaystyle{ t_3}\), \(\displaystyle{ t_{11}}\), \(\displaystyle{ t_{36}}\) „szóstkowe” liczby trójkątne ?
Uwagi: \(\displaystyle{ t_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\) tą liczbę trójkątną
14. Udowodnić, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+3= 4ab \\ c^2+d^2+3 = 4cd \\4c^3 - 3c=a \end{cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych
1200 ntp
15. Wykazać że liczba \(\displaystyle{ n^7 + 7}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej
16. rozwiązane przez Medea2
Udowodnić że liczba \(\displaystyle{ \underbrace {1 \ldots 1}_{2015}\underbrace {2 \ldots 2}_{2015}}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych
17. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ \frac{a^2+b}{b^2-a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b^2+a}{a^2-b}}\) są też całkowite ?
18. Liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są różnicami kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ mn}\) także ma tę własność
19. Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowa liczba monotoniczna, która jest kwadratem liczby całkowitej.
Uwagi: Liczba monotoniczna to taka której ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego jest słabo rosnący np. \(\displaystyle{ 1224779}\) itp.
20. Udowodnić że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele niepodzielnych przez 10 liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), takich, że sumy cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ mn}\) są równe.

21. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można ze wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) zbudować dwuwierszową macierz, w której sumy po wszystkich kolumnach oraz po wierszach są równe ?
np. \(\displaystyle{ n=4}\); \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&6&7 \\ 8&5&3&2 \end{bmatrix}}\)
22. rozwiązane przez Elayne
Wyznaczyć możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ n^2}\) kończy się (w zapisie dziesiętnym) sekwencją cyfr \(\displaystyle{ 9009}\) ?
23. Wykaż lub obal:
Każda liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) może być przedstawiona w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2 +c^3}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi
24. Scharakteryzować rozmieszczenie w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) liczb nie będących w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby całkowite nieujemne.
25. rozwiązane przez Medea2
Jaką jest największa reszta z dzielenia liczby trzycyfrowej przez sumę jej cyfr ?
26. rozwiązane przez Marcin7Cd
Wyznaczyć największą liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, z której pierwiastek \(\displaystyle{ n}\) tego stopnia jest sumą cyfr tej liczby (taką jest np. \(\displaystyle{ 512}\)).
27. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n-1} - 2^{n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\).
28. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ 3^n - n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 17}\)
29. Jaką najmniejszą nieujemną wartość ma wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2p} - \sqrt{x} - \sqrt{y}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi zaś \(\displaystyle{ p}\) ustaloną liczbą pierwszą.
1200 ntp
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ b^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+1}\) i \(\displaystyle{ a^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ b+1}\) ?
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 1 cze 2015, o 14:38 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 4 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Zahion » 28 maja 2015, o 11:51

9:    
18:    
3:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15338
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5102 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Premislav » 28 maja 2015, o 12:46

27.:    

Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Medea 2 » 28 maja 2015, o 12:55

16:    
25:    

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 255 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Elayne » 28 maja 2015, o 14:30

22.:    

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Ponewor » 28 maja 2015, o 18:42

1.:    
2.:    
4.:    

marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 60 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: marcin7Cd » 30 maja 2015, o 13:43

26:    
-- 4 cze 2015, o 14:42 --
15.:    
20.:    

MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: MadJack » 12 cze 2015, o 01:31

12:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6494
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 lip 2015, o 17:23

ad 20
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6494
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: mol_ksiazkowy » 20 lut 2016, o 14:33

Zadanie 30 (jako problem 57 z Nierozwiązanych problemów 5)
Ukryta treść:    

marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 60 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: marcin7Cd » 21 lut 2016, o 19:22

zad. 30. dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\)
Ukryta treść:    

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7304
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 949 razy

[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Kartezjusz » 21 lut 2016, o 20:36

29
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6494
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 maja 2021, o 12:34

:arrow: Nierozwiązane są : 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 28 (11 zadań).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15338
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5102 razy

Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne

Post autor: Premislav » 11 maja 2021, o 16:44

28.:    

ODPOWIEDZ