Oblicz sumę

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
mhgihg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 24 mar 2021, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 14
Podziękował: 2 razy

Oblicz sumę

Post autor: mhgihg »

Witam mam problem z rozwiązaniem tego zadania:
Oblicz sumę \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+...+ \frac{1}{98 \cdot 99 \cdot 100} }\)
Doszedłem do tego, że ta suma jest równa \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{98}\frac{1}{2(n+2)}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1} }\), ale nie wiem jak obliczyć tę sumę.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Oblicz sumę

Post autor: Tmkk »

Wpisz sobie kilka pierwszych wyrazów tej rozłożonej sumy i zobacz, jak to się zachowuje. Odpowiednie wyrazy będą się fajnie skracać.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Oblicz sumę

Post autor: Dasio11 »

Inny sposób:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{ (n+2) - n }{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)}\)

i po zsumowaniu od \(\displaystyle{ n=1}\) do \(\displaystyle{ 98}\) też większość się skróci.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Oblicz sumę

Post autor: a4karo »

Można też skorzystać z tożsamości
\(\displaystyle{ \frac12=\frac1{n+2}+\frac{n}{n+2}\cdot\frac12}\)
kolejno dla `n=1,2,...`:

\begin{align*}\frac12&=\frac13+\frac13\cdot\frac12\\
&=\frac13+\frac13\left(\frac14+\frac24\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4}\left(\frac15+\frac35\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5}\left(\frac16+\frac46\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5\cdot6}+\frac2{5\cdot6}\cdot\frac12\\
&=...\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\dots+\frac{2}{98\cdot99\cdot100}+\frac2{99\cdot100}\cdot\frac12
\end{align*}

To pozwala wyliczyć skończone sumy oraz sumę szeregu.

Tożsamość
\(\displaystyle{ \frac{1}{b-1}=\frac{1}{n+b-1}+\frac{n}{n+b-1}\cdot\frac{1}{b-1}}\)
pozwala w taki sam sposób liczyć sumy
\(\displaystyle{ \frac1{1\cdot2\cdot...\cdot b}+\frac{1}{2\cdot3\cdot...\cdot(b+1)}+\frac{1}{3\cdot4\cdot...\cdot(b+2)}+\dots}\)

lub
\(\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot3\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\dots.}\) (tutaj trzeba "skakać" z `n` co dwa).
Oraz wiele innych. Miłej zabawy.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: Oblicz sumę

Post autor: Elayne »

Inaczej - wskazówka.
Bardzo sympatyczne zadanko. Zadanie to, to zabawa ze szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych - liczbami czworościennymi.
ODPOWIEDZ