[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 8 lut 2021, o 23:36

Dobra, to zadanie było naprawdę kjowe, więc trochę się boję, że nikomu nie będzie się chciało pisać, w ramach bonusu wrzucę pięć dowodów oraz nowe zadanie.
sposób nr 1:    
sposób nr 2:    
sposób nr 3:    
sposób nr 4:    
sposób nr 5:    
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}, \ x+y+z=1}\). Proszę udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{(1+xy+yz+zx)\left(1+3x^{3}+3y^{3}+3z^{3}\right)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\ge \left(\sum_{\text{cyc}}^{}\frac{x(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\left(3+9x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}}\right)^{2}}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 9 lut 2021, o 22:29

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 9 lut 2021, o 22:51

Bardzo elegancko, można wrzucać następne.
co do lewej strony…:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 10 lut 2021, o 11:44

Dany jest trójkat o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\), promieniach okręgu opisanego i wpisanego odpowiednio \(\displaystyle{ R, r}\) (\(\displaystyle{ r>0}\)) oraz promieniach okręgów dopisanych \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c}\). Udowodnij, że $$\frac{(1+r_ar_b)(r_a+r_b)}{\left(1+r_a^2\right)\left(1+r_b^2\right)}+\frac{(1+r_br_c)(r_b+r_c)}{\left(1+r_b^2\right)\left(1+r_c^2\right)}+\frac{(1+r_cr_a)(r_c+r_a)}{\left(1+r_c^2\right)\left(1+r_a^2\right)}\le\frac{2R-r}{r}.$$

W razie braku odzewu z mojej strony w ciągu, powiedzmy, dwunastu godzin po publikacji rozwiązania, proszę sie nie wahać i kontynuować zabawę.
Ostatnio zmieniony 10 lut 2021, o 12:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 10 lut 2021, o 22:00

coś za łatwo poszło:    
Nawet nie trzeba było wiedzieć, co to ten okrąg dopisany (nie wpadłem na to w pierwszej chwili i sprawdziłem na wiki jbc). :D Podejrzane.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 11 lut 2021, o 14:51

Przewodniczący komisji śledczej pisze:Dziękuję, zajmiemy się tym natychmiast.
Mam dość dobrze uzasadnione przypuszczenia, że taki był zamysł, żeby pokazać zalety patrzenia na zadanie w różnych skalach. Twoja kolej.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 11 lut 2021, o 17:36

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca\le 1}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ a+b+c+\sqrt{3}\ge 8abc\left(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\right)}\).
Ostatnio zmieniony 11 lut 2021, o 22:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 lut 2021, o 16:25

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 14 lut 2021, o 17:38

Całkiem zgrabnie (początek miałem taki sam, potem oddzielnie szacowałem z dołu mianowniki według \(\displaystyle{ (a+b)(c+a)\ge 4a\sqrt{bc}}\) itd.). Zadajesz.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 14 lut 2021, o 21:18

Dla rzeczywistych liczb \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b+c=3}\), udowodnij $$\frac{a}{b(a+5c)^2}+\frac{b}{c(b+5a)^2}+\frac{c}{a(c+5b)^2}\ge\frac{1}{4\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 lut 2021, o 11:41

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 21 lut 2021, o 22:17

Doskonale, kontynuuj.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 21 lut 2021, o 23:37

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\in \left(0, \frac{1}{2}\right]}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}{(1-x_{1})(1-x_{2})(1-x_{3})(1-x_{4})}\le \frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}}{(1-x_{1})^{4}+(1-x_{2})^{4}+(1-x_{3})^{4}+(1-x_{4})^{4}}}\)

ODPOWIEDZ