[MIX] Mix matematyczny 43

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6136
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2542 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: mol_ksiazkowy » 18 gru 2020, o 20:06

1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^2-bc}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ 2a+b+c}\) nie jest liczbą pierwszą.
2. Wskazać funkcję \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taką, że \(\displaystyle{ f(f (x)) = x^2+2x+6 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
3. Wisienką w grafie nazywa się dwa wierzchołki o stopniu 1 i o wspólnym sąsiedzie. Udowodnić, że w grafie spójnym, który nie ma wisienki można usunąć dwa sąsiednie wierzchołki, tak aby wciąż był on spójny.
4. Niech \(\displaystyle{ ! n ! }\) będzie iloczynem \(\displaystyle{ n }\) kolejnych liczb jedynkowych (np. \(\displaystyle{ ! 3 ! = 1 \cdot 11 \cdot 111 }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ ! (n+m) ! }\) dzieli się przez iloczyn liczb \(\displaystyle{ ! n! }\) i \(\displaystyle{ !m! }\).
5. Czy szachownicę \(\displaystyle{ 10 \times 10 }\) można pokryć \(\displaystyle{ 25}\) kostkami, z których każda składa się z czterech kwadratów jednostkowych i ma kształt litery L ?
6. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^3 = \{ (x+1)^3 \} }\) .
7. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ …+ \frac{1}{n}= \frac{a_n}{b_n} }\) (ułamek nieskracalny), to \(\displaystyle{ b_{n+1} < b_n}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
8. Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_1 = 1 \\ a_{n+1}= \frac{1+4a_n + \sqrt{1+24a_n}}{16} }\).
9. Udowodnić, że na \(\displaystyle{ 19}\) polowej sześciokątnej szachownicy (jak w grze hex) o boku opartym na trzech sześciokątach może wielbłąd z pola środkowego przeskoczyć po wszystkich polach, na każdym będąc tylko raz.
10. W kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 1}\) zawarte są okręgi takie, że suma ich długości jest równa \(\displaystyle{ 10}\). Wykazać, że istnieje prosta przecinająca co najmniej cztery z tych okręgów.
Ostatnio zmieniony 18 gru 2020, o 22:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19033
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3219 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: a4karo » 18 gru 2020, o 20:45

6:    
Ostatnio zmieniony 18 gru 2020, o 21:08 przez a4karo, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3088
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1046 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: Janusz Tracz » 18 gru 2020, o 20:51

6:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15170
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 157 razy
Pomógł: 5034 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: Premislav » 18 gru 2020, o 21:48

8.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7854
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: kerajs » 20 gru 2020, o 08:47

mol_ksiazkowy pisze:
18 gru 2020, o 20:06
9. Udowodnić, że na \(\displaystyle{ 19}\) polowej sześciokątnej szachownicy (jak w grze hex) o boku opartym na trzech sześciokątach może wielbłąd z pola środkowego przeskoczyć po wszystkich polach, na każdym będąc tylko raz.
A jakie ruchy może wykonywać wielbłąd? Co prawda, w jednym z mixów był Wielbłąd jako ((1, 3) koń), ale na szachownicy sześciokątnej nie można skręcać pod kątem prostym.
5:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6136
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2542 razy
Pomógł: 673 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: mol_ksiazkowy » 20 gru 2020, o 13:15

9 cd
Ukryta treść:    
2
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6136
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2542 razy
Pomógł: 673 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 sty 2021, o 10:08

:arrow: Nierozwiązane są 1, 3, 4, 7, 8 + (?) 9.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15170
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 157 razy
Pomógł: 5034 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 43

Post autor: Premislav » 23 sty 2021, o 11:12

1.:    

ODPOWIEDZ