[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 24 paź 2020, o 18:17

Mam nadzieję, że jeszcze tego nie dawałem.
Niech \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR^{+}}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}\le 3\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\left(y^{2}+yz+z^{2}\right)\left(z^{2}+zx+x^{2}\right) }\)

Awatar użytkownika
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 16
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i » 24 paź 2020, o 21:36

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 24 paź 2020, o 22:29

Całkiem ładne rozwiązanie, możesz wrzucać następne zadanie.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 16
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i » 24 paź 2020, o 23:02

Może teraz coś trudniejszego.
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) bedą liczbami nieujemnymi i parami różnymi.
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b-c} \right)^2+\left( \frac{b}{c-a}\right)^2+\left( \frac{c}{a-b} \right)^2 >2.}\)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2020, o 23:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 24 paź 2020, o 23:30

Ukryta treść:    
Dla mnie znacznie prostsze niż ostatnia nierówność Tmkk, która była niepodobna do niczego (albo to ja na siłę próbowałem przepchnąć średnie ważone lub ciągi jednomonotoniczne), ale to trochę subiektywna kwestia.

Awatar użytkownika
H0t_Orange_B0i
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 16
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: H0t_Orange_B0i » 25 paź 2020, o 01:04

Dowód jak najbardziej w porządku, ja jak zobaczyłem tą nierowność to pierwsze co mi przyszło do głowy to użycie Cauchy'ego Schwarza ale z nierówności Schura też wychodzi ładny dowód.
Możesz wstawić kolejne

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 25 paź 2020, o 11:35

Niech \(\displaystyle{ (a_{n})_{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich i niech dla \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}}\). Niech ponadto \(\displaystyle{ N\in \NN^{+}}\). Proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}\le 4\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}}\)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1407
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 383 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 6 lis 2020, o 00:07

Jako, że cisza, wrzucam dowód, który kiedyś tam znalazłem w internecie. Sama nierówność jest znana pod nazwą nierówność Hardy'ego, \(\displaystyle{ 4}\) jest optymalną stałą. W ogólnym przypadku, dla \(\displaystyle{ p}\)-tych potęg, optymalna stała to \(\displaystyle{ \left(\frac{p}{p-1}\right)^p}\).
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 lis 2020, o 00:12

Możesz śmiało wrzucać następne.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1407
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 383 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 6 lis 2020, o 00:32

Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{R}}\) pokazać nierówność

\(\displaystyle{ a_1a_2\ldots a_n \le \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^4}{4} + \ldots + \frac{a_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}}\)

Jestem ciekawy czy jest jakieś elementarne rozwiązanie (nie próbowałem, więc może łatwo pójdzie).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 lis 2020, o 01:17

Ukryta treść:    

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1407
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 383 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 6 lis 2020, o 10:17

Ok, poszło prościej niż myślałem.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: timon92 » 6 lis 2020, o 10:19

ostatnia nierówność to po prostu ważone AM-GM dla liczb \(a_1^{2},a_2^{2^2},\ldots,a_n^{2^n}, 1\) i wag \(\frac12,\frac14,\ldots, \frac{1}{2^{n-1}}, \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15102
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5009 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 lis 2020, o 23:21

Nowe zadanie:
proszę udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \RR^{+}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b\ge abc(a+b+c)}\)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1407
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 383 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Tmkk » 6 lis 2020, o 23:46

Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ