[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14657
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 4823 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 25 mar 2020, o 22:41

Ukryta treść:    
Jak ktoś ogarnięty to sprawdzi i potwierdzi poprawność, to wrzucę nowe.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1491
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 390 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 26 mar 2020, o 01:09

W.M. pisze:I wtedy ja, na dany znak,
Prężąc i śmiejąc się szampańsko...
To rozwiązanie jest ok. Nie znam wprawdzie firmówki, ale trudno mi jest wyobrazić sobie coś prostszego i fajniejszego niż zauważenie klasyka: \(\displaystyle{ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le xyz}\).
Uwagi:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14657
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 4823 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 26 mar 2020, o 10:26

Dla rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ abc=1}\) proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}}\).

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1491
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 390 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 3 kwie 2020, o 17:49

Ukryta treść:    
W ramach (m.in.) samokrytyki oddaję kolejkę.

Dodano po 1 dniu 4 godzinach 19 minutach 13 sekundach:
...sobie.:roll: Dobrze, w takim razie może coś takiego:

Dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.}\) Udowodnij, że $$2(a+b+c)\ge\sqrt[3]{7a^2b+1}+\sqrt[3]{7b^2c+1}+\sqrt[3]{7c^2a+1}.$$

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14657
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 4823 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 5 kwie 2020, o 11:26

Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1491
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 390 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike » 5 kwie 2020, o 14:45

No właśnie. Zadanie pochodzi z zawodów indywidualnych MEMO 2013 i jest całkiem standardowe, ale statystyki miało zaskakująco niskie. Nikt go nie zmaksował, a z ogólnej liczby sześćdziesięciorga zawodników tylko pięciu uzyskało za nie niezerową notę, przy czym akurat Polacy wypadli tu dość korzystnie na tle innych nacji (3x6/8).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14657
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 4823 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav » 6 kwie 2020, o 10:18

Nowe:
dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}}\) spełniających warunki
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}=S, \ \frac{a_{i}^{2}}{a_{i}-1}>S, \ i\in\left\{1,2,3\right\}, \ a_{1}>1, \ a_{2}>1, \ a _{3}>1 }\)
proszę udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\frac{1}{a_{3}+a_{1}}>1}\)

ODPOWIEDZ