Dany jest czworokąt wpisany w okrąg o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takich ze \(\displaystyle{ a+b+c+d=1}\). Pokaż ze
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2+4(abc+abd+acd+bcd)<8abcd+\frac{1}{2}}\)
[nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi
Pomysł jest taki, że w sumach cyklicznych $$8abcd+\frac{1}{2}\left(\sum a\right)^4>4\sum a\cdot\sum abc+\sum a^2\cdot\left(\sum a\right)^2$$ jest równoważna $$\left(a^2+b^2+c^2-\frac{d^2}{2}\right)d^2+4abcd+\frac{1}{2}(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0,$$ więc biorąc \(\displaystyle{ d=\min\left\{a,b,c,d\right\}}\) wystarczyłoby dowieść, że z najdłuższych boków cyklicznego czworokąta da się zbudować trójkąt. Myślę, że to wygląda dość obiecująco.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi
to by faktycznie wystarczyło, ale niestety to nie jest prawda w ogólności
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi
No fakt, to by było zbyt fajne. To drugi pomysł jest taki, że $$\begin{multline*}8abcd+\frac{1}{2}\left(\sum a\right)^4-4\sum a\cdot\sum abc-\sum a^2\cdot\left(\sum a\right)^2\\=\frac{1}{2}(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)=8S^2\ge 0,\end{multline*}$$ gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest polem czworokąta (wzór Brahmagupty).