Umieścimy elipsę w prostokątnym układzie współrzędnych w taki sposób, by osie elipsy leżały na osiach układu, a w konsekwencji by środek elipsy leżał w środku układu. Dowolny punkt `P=(x,y)` elipsy spełnia wtedy równanie`\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1`, gdzie `a,b` są długościami półosi, tzn. `a,b>0`. Równania wzajemnie prostopadłych prostych przechodzących przez środek układu to `l_1:\ y=cx` oraz `l_2:\ x=-cy`, gdzie z uwagi na symetrię wystarczy rozważyć tylko `1\ge c\ge 0`.
Punkty przecięcia `l_1` z elipsą to
\(\displaystyle{ P_1=\left(\frac{ab}{\sqrt{b^2+c^2a^2}},\frac{abc}{\sqrt{b^2+c^2a^2}}\right),\ P_2=\left(-\frac{ab}{\sqrt{b^2+c^2a^2}},-\frac{abc}{\sqrt{b^2+c^2a^2}}\right)}\).
Punkty przecięcia `l_2` z elipsą to
\(\displaystyle{ P_3=\left(-\frac{abc}{\sqrt{a^2+c^2b^2}},\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2b^2}}\right),\ P_4=\left(\frac{abc}{\sqrt{a^2+c^2b^2}},-\frac{ab}{\sqrt{a^2+c^2b^2}}\right)}\).
Mamy wobec tego
$$\begin{aligned}|P_1P_2|=d_1&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=\sqrt{\left(\frac{2ab}{\sqrt{b^2+c^2a^2}}\right)^2+\left(\frac{2abc}{\sqrt{b^2+c^2a^2}}\right)^2}\\&=2ab\sqrt{\frac{1+c^2}{b^2+c^2a^2}}\end{aligned}$$
oraz
$$\begin{aligned}|P_3P_4|=d_2&=\sqrt{\left(x_3-x_4\right)^2+\left(y_3-y_4\right)^2}\\&=\sqrt{\left(\frac{2abc}{\sqrt{a^2+c^2b^2}}\right)^2+\left(\frac{2ab}{\sqrt{a^2+c^2b^2}}\right)^2}\\&=2ab\sqrt{\frac{1+c^2}{a^2+c^2b^2}}\end{aligned}$$
Suma długości odcinków zawartych w elipsie to $$L=d_1+d_2=2ab\left(\sqrt{\frac{1+c^2}{b^2+c^2a^2}}+\sqrt{\frac{1+c^2}{a^2+c^2b^2}}\right)$$ To jest funkcja jednej zmiennej, więc można spróbować powalczyć z pochodną.
Widać stąd, że `L` maleje na
\(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\), więc
\(\displaystyle{ L(1)=\frac{4\sqrt{2}ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\le L\le L(0)=2(a+b)}\). Maksimum osiągane jest w sytuacji, gdy proste `l_1,l_2` pokrywają się z osiami elipsy, a minimum - gdy mniejszy z kątów między daną prostą a dowolną osią elipsy wynosi
\(\displaystyle{ 45^{\circ}}\).
Nie będzie chyba niespodzianką, że bez pochodnych też można.