[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

[bosa_Nike]

Dla \(\displaystyle{ a,b,c\ge 0}\), takich że \(\displaystyle{ ab+bc+ca=3t^2}\), gdzie \(\displaystyle{ t\ge 0}\), znajdź najmniejszą wartość wyrażenia

$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right).$$

[timon92]

z mnożników Lagrange'a wyszło mi, że odpowiedź to \(\displaystyle{ (3t^2-1)^2}\) gdy \(\displaystyle{ t^2\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ (t^2+1)^3}\) gdy \(\displaystyle{ t^2<3}\)

,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że \(\displaystyle{ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2}\) oraz obserwacji, że przy \(\displaystyle{ t^2\ge3}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\)

[bosa_Nike]

Dzięki, to też mój wynik. Nie znam wprawdzie oficjalnego rozwiązania, ale tak sobie również wyobrażam zamysł autora zadania (P. Perfetti).

Ukryta treść:    

Tę tożsamość można względnie łatwo uzyskać np. wykorzystując własności liczb zespolonych. W wyróżnieniu dwóch wspomnianych przypadków może pomóc ujednorodnienie wyrażenia w drugim nawiasie i zauważenie tam $$\left((a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc\right)+3\left(3-t^2\right)abc$$ Pozostaje jeszcze porachować i znaleźć realizację w obu rozważanych przedziałach.

PS Zdradzisz, kto jest autorem nierówności z drugiej serii bieżącej OM?