[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: bosa_Nike » 8 wrz 2019, o 07:37

Dla \(a,b,c\ge 0\), takich że \(ab+bc+ca=3t^2\), gdzie \(t\ge 0\), znajdź najmniejszą wartość wyrażenia

$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right).$$

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: timon92 » 9 wrz 2019, o 19:57

z mnożników Lagrange'a wyszło mi, że odpowiedź to \((3t^2-1)^2\) gdy \(t^2\ge 3\) oraz \((t^2+1)^3\) gdy \(t^2<3\)

,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że \((a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2\) oraz obserwacji, że przy \(t^2\ge3\) istnieją \(a,b,c\) spełniające \(a+b+c=abc\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: bosa_Nike » 10 wrz 2019, o 07:25

Dzięki, to też mój wynik. Nie znam wprawdzie oficjalnego rozwiązania, ale tak sobie również wyobrażam zamysł autora zadania (P. Perfetti).
Ukryta treść:    
PS Zdradzisz, kto jest autorem nierówności z drugiej serii bieżącej OM?

ODPOWIEDZ