[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1462
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 377 razy

[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: bosa_Nike » 8 wrz 2019, o 07:37

Dla \(\displaystyle{ a,b,c\ge 0}\), takich że \(\displaystyle{ ab+bc+ca=3t^2}\), gdzie \(\displaystyle{ t\ge 0}\), znajdź najmniejszą wartość wyrażenia

$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right).$$

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1524
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 425 razy

Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: timon92 » 9 wrz 2019, o 19:57

z mnożników Lagrange'a wyszło mi, że odpowiedź to \(\displaystyle{ (3t^2-1)^2}\) gdy \(\displaystyle{ t^2\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ (t^2+1)^3}\) gdy \(\displaystyle{ t^2<3}\)

,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że \(\displaystyle{ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2}\) oraz obserwacji, że przy \(\displaystyle{ t^2\ge3}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1462
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 377 razy

Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

Post autor: bosa_Nike » 10 wrz 2019, o 07:25

Dzięki, to też mój wynik. Nie znam wprawdzie oficjalnego rozwiązania, ale tak sobie również wyobrażam zamysł autora zadania (P. Perfetti).
Ukryta treść:    
PS Zdradzisz, kto jest autorem nierówności z drugiej serii bieżącej OM?

ODPOWIEDZ