Kuratoryjny konkurs matematyczny dla gimnazjum 2008/2009

[patry93]

Ktoś tutaj pisał przedmiotowy ze Śląska?
Zadania z II etapu są tutaj -

Proszę, spójrzcie na zadanie nr 10.
Powoli zaczynają mnie denerwować te zadnia z kuratoryjnych konkursów... po cóż dali takie liczby? o_O ech...
Wręcz błagam, napiszcie jak zrobić to zadanie, lecz "elementarnie".
Ja robiłem tak: najpierw z Herona liczę T i wychodzi mi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{1296}}\) co jest równe \(\displaystyle{ 6 \cdot 36 = 216}\) lecz oczywiście tego spod pierwiastka nie wyciągnąłem, bo skąd miałem wiedzieć, że to jest tyle równe...? A i sprawdzać po kolei bez sensu...
Dalej oby obliczyć K musiałem posłużyć się wzorem \(\displaystyle{ 4R = \frac{abc}{T}}\), z tego wyliczyć R no i potem K. Wynik wychodzi bodajże \(\displaystyle{ K-T = 225 \pi - 216}\)
Jak widać moje rozwiązanie jest baaardzo nieelementarne, a co za tym idzie - brzydkie. Co najciekawsze - o ile Herona można darować, to użycie tego drugiego wzoru jest co najmniej nie na miejscu w takim konkursie (to chyba nie jest konkurs "kto zapamięta najwięcej wzorów" ? :/ ).
Bardzo chętnie zobaczyłbym "normalne" rozwiązanie tego zadania, czekam z niecierpliwością
A jeżeli "normalne" rozw. jest długie i mocno skomplikowane, to moim zdaniem autor tego zadania (albo osoba, która to zadanie umieściła w arkuszu) powinna zostać dosłownie zlinczowana (oczywiście zwracam honor, jeśli "gimnazjalne" rozwiązanie jest krótkie i wystarczy tylko jakąś małą pierdółkę zauważyć ).

[timon92]

zauważ, że ten trójkąt jest prostokątny (\(\displaystyle{ 18^2+24^2=30^2}\)), co bardzo szybko pozwala obliczyć szukane pola

[patry93]

Hehe, teraz nie wiem czy się śmiać, czy płakać
Ech, powiedzcie mi, czy Waszym zdaniem dobrze zrobiono, że dano tam takie "chore" liczby?
To jest imo troszeczkę bez sensu... nie dość, że na kuratoryjnym jest mało czasu, to jeszcze trzeba się bawić w takie potęgowania, moim zdaniem - śmiech na sali. I dlatego też wolę OMG...

[tkrass]

Moim zdaniem powinieneś to widzieć od razu - to dosyć małe wielokrotności liczb 3,4,5.

[limes123]

Jak widać moje rozwiązanie jest baaardzo nieelementarne

Nie przesadzajmy...

[Mruczek]

Jeżeli ktoś mógłby przesłać na pocztę zadania z ubiegłorocznego lub wcześniejszych finałów konkursu matematycznego w województwie lublelskim to ja też poproszę (michalb941@wp.pl).

[patry93]

tkrass - "małe" to pojęcie względne Dla mnie one są "duże"
Wiecie co, wydaje mi się, że w dużej mierze niezauważenie przeze mnie tego jakże istotnego faktu było spowodowane tym, iż jest to konkurs kuratoryjny... (dziwne, no nie? ).
Już tłumaczę do czego zmierzam - po przerobieniu setek zadań typowo "na OMG" mam wręcz 100% pewność, że rozwiązanie jest banalne i krótkie, więc nigdy też nie bawię się w nich z "niestandardowymi" wzorami. Natomiast w kuratoryjnym, może nie tyle o sam sposób, co o wynik nigdy nie mam pewności, ponieważ widziałem już duużo zadań, w których wynik wychodził duży i bardzo "brzydki", a co najciekawsze - był poprawny Dlatego też (przynajmniej ja) nigdy nie jestem pewny czy robię dobrze, bo nawet jeśli wychodzi coś bardzo brzydkiego, to często prowadzi to do wyniku... i to mnie boli
Ogólnie obserwując to wszystko, widzę, że tzw. "maszyny-ludzie do liczenia" sobie w takich zadaniach najlepiej radzą, bo sprawdzają (licząc) wszystko co możliwe, aż znajdą najlepszą drogę. Nie wiem tylko czy będzie to im bardzo przydatne... bo z myśleniem u nich troszeczkę gorzej chyba (znam kilku kolesi, którzy w ten sposób właśnie rozwalają kuratoryjne, a w OMG nie mogą się odnaleźć... ze mną jest zupełnie odwrotnie i tak się zastanawiam, kto wybrał "lepszą" drogę...? Nie wiem, nie mnie to oceniać...)
...
ale się Wam wyżaliłem Sorry, ale musiałem xD

limes123 - hehe, no dobrze, że przynajmniej w analityczną nie zacząłem się bawić xD

[binaj]

to dobry objaw, ze lubisz zadania Olimpijskie, znam sporo finalistów, a nawet laureatów kuratoryjnego, którzy o OMG nawet nie słyszeli, a co dopiero mówić o zadaniach

[MagdaW]

sporo finalistów, a nawet laureatów kuratoryjnego, którzy o OMG nawet nie słyszeli, a co dopiero mówić o zadaniach

Na przykład ja rok temu. I bardzo tego żałuję, bo zadania olimpijskie rzeczywiście są cenniejsze i ciekawsze. Warto je doceniać i nad nimi pracować.

[patry93]

No, jak tam - macie już swoje wyniki?
Dzisiaj looknąłem na stronę WOM'u i jest lista:

Haha, przeszedłem na styk (34 pkt, a próg 34pkt ).
Jeżeli na finale znów dadzą takie "głupie" zadania to chyba im drukowanymi literami napiszę co o tym myślę

A tak btw. to z fizyki też jest już lista:

I też na niej jestem (jak się chwalić, to się chwalić, a co! ) i o dziwo poszło mi o wiele lepiej niż z matmy

[emator2]

Btw. nie wiecie kiedy i gdzie ukażą się miejsca przeprowadzenia III etapu w lubelskim? Interesuje mnie matma i fizyka.

[Mruczek]

Wiadomości o miejscach przeprowadzenia III etapu w woj. lubelskim powinny pojawić się za ok. 2-3 tygodnie na stronie Kuratorium Oświaty w Lublinie (). Etap wojewódzki odbywa się w Lublinie.

[Runwid]

ad.patry93
Tez pisałem ten test Jak chcesz wiedzieć, jak ja to zrobiłem, to to tez policzyłem pole z Herona (potem się skapnąłem, ze to prostokątny jest) a pole koła z normalnego wzoru. Jest twierdzenie, że dla trójkąta prostokątnego długość promienia opisanego na nim okręgu jest równa połowie długości przeciwprostokątnej. A pierwiastek z tej dużej liczby- wystarczy na czynniki pierwsze rozłożyć.

P.S. Rozwiązanie raczej jest dobre, bo w sumie na całym teście jeden punkt straciłem.
P.S.2 Zadania z konkursów- ... &Itemid=60


A właśnie, jeszcze trzeci pees. W jednym z zestawów zadań finałowych z poprzednich lat jest zadanie o treści (nie cytuję, ale wszystkie dane są): Znajdź liczbę, wiedząc, że suma jej cyfr jest równa 6 i ma dokładnie cztery dzielniki, których suma wynosi 192.

Nie potrafię tego rozgryźć, a to, do czego doszedłem:

Suma cyfr jednoznacznie wskazuje na to, że jednym z dzielników jest 3.

Małe założenie. Jeśli liczba rozłoży się na czynniki pierwsze- x, y, z, to jej wszystkie dzielniki to: x, y, z, xy, zy, zx, a rozłożona liczba wynosi xyz.

Dalej. Biorąc pod uwagę powyższe założenie (nie potrafię znaleźć błędu), liczba, której szukamy, musi mieć postać \(\displaystyle{ x^{5}}\) lub \(\displaystyle{ xy^{2}}\).


Wśród kombinacji czynników pierwszych tylko te podane przeze mnie dają w sumie 4 dzielniki (odpowiednio x, \(\displaystyle{ x^{2}}\) , \(\displaystyle{ x^{3}}\) , \(\displaystyle{ x^{4}}\) oraz
\(\displaystyle{ x}\) , \(\displaystyle{ y}\) , \(\displaystyle{ xy}\) , \(\displaystyle{ y^{2}}\) ).


Przykład - 12 ma 4 dzielniki - 6 4 3 i 2. Jej czynniki pierwsze to 2 2 i 3.
Drugi przykład -32 ma 4 dzielniki- 16 8 4 2. Jej czynniki pierwsze to 2 2 2 2 2.



Już konkluduję. Opcja \(\displaystyle{ x^{5}}\) nie spełnia warunków zadania (wiemy, że jednym z czynników jest 3, a 3 do piątej potęgi, inaczej 243 nie pasuje)

Druga opcja daje mi dwie możliwości. Albo x wynosi 3, albo y wynosi 3.
Tym samym albo

1
Dla \(\displaystyle{ y=3}\)
\(\displaystyle{ 3+3x+x+3^{2}=192}\)
\(\displaystyle{ x=45}\)

Po rozwiązaniu nasuwa się szukana liczba- 405 ( ma dokładnie 4 dzielniki i ich suma wynosi 192) ale suma jej cyfr nie jest równa 6. Złe rozwiązanie.

2.
Dla \(\displaystyle{ x=3}\)
\(\displaystyle{ 3+y+3y+y^{2}=192}\)
\(\displaystyle{ y^{2}+4y-189=0}\)
A skoro to równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb całkowitych, to druga opcja też nie daj rozwiązania.



Wydaje mi się, że w moim rozumowaniu nie ma luk. Wiec to ja popełniłem błąd, czy zadanie nie ma rozwiązania?

[lukasz_650]

Błąd w rozumowaniu u Ciebie polega na tym, że nie bierzesz pod uwagę tego, że 1 i n są również dzielnikami liczby n . Przykładowo liczba 12 ma 6 dzielników dodatnich (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Skoro liczba ma 4 dzielniki to możemy łatwo wywnioskować, że musi być postaci \(\displaystyle{ p^{3}}\) lub \(\displaystyle{ pq}\), gdzie p i q są liczbami pierwszymi. Teraz powinno już chyba łatwo pójść

[Daniel880]

No ja już po rejonach. Ogólnie to masakra:/ jak liczyłem to około 43/50. Wiecie może ile trzeba mieć do następnego etapu?? z tego co się orientuje to 45 ale nigdzie tego nie pisało:/


ps. Woj. Wielkopolskie