Strona 1 z 1
Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 22 sty 2021, o 23:04
autor: PR713
zad 1
Wykaż, że nie istnieje liczba pierwsza p taka, że liczba
\(\displaystyle{ p^4+ 4}\) jest również pierwsza.
zad 2
Wykaż, że nie istnieje liczba pierwsza
\(\displaystyle{ k}\), dla której liczba
\(\displaystyle{ \frac{k²+50}{k+5}}\) jest liczbą całkowitą.
zad 3
Oblicz długości odcinków przeciwprostokątnej na jakie dzieli ją wysokość poprowadzona w trójkącie prostokątnym jeśli wiadomo że, suma długości przyprostokątnych wynosi
\(\displaystyle{ m}\) , zaś stosunek długości szukanych odcinków wynosi
\(\displaystyle{ k}\). Wynik przedstaw w najprostszej postaci. ( Tutaj mam pomysł, aby użyć wzoru na trójkąt prostokątny, że
\(\displaystyle{ h^2= a_1\cdot a_2}\) , gdzie
\(\displaystyle{ a_1,a_2}\) to odcinki, które powstały po podzieleniu boku
\(\displaystyle{ a}\) ( przeciwprostokątnej ), na dwa odcinki )
Będę bardzo wdzięczny za jakąkolwiek sugestię do rozwiązania tych zadań
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 22 sty 2021, o 23:35
autor: Premislav
Rozumiem, że ten konkurs już się zakończył?
1. Wskazówka \(\displaystyle{ p^{4}+4=p^{4}+4p^{2}+4-4p^{2}=\ldots}\)
i poszukaj wzorów skróconego mnożenia. Pamiętaj, żeby potem pokrótce uzasadnić, że czynniki są większe niż \(\displaystyle{ 1}\), bo sam rozkład na czynniki to za mało.
2. Wskazówka \(\displaystyle{ k^{2}+50=(k+5)(k-5)+75}\), a więc \(\displaystyle{ \frac{k^{2}+50}{k+5}=\frac{(k+5)(k-5)+75}{k+5}}\)
i rozpisz na sumę ułamków. Kiedy suma liczby całkowitej i liczby wymiernej jest całkowita? Musiałaby zajść podzielność, którą łatwo wykluczasz, analizując dzielniki liczby \(\displaystyle{ 75}\): na pałę się okazuje, że żaden nie jest o pięć większy od liczby pierwszej (tu chyba rozpisywania nie unikniemy, ale nie ma go wiele).
Dalej fuu, planimetria, nawet nie czytam.
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 24 sty 2021, o 11:00
autor: PR713
Post dodaję jeszcze raz :
Dzięki za naprowadzenie - już rozumiem i rozwiązałem te dwa zadania
Dodano po 20 minutach 18 sekundach:
Premislav pisze: ↑22 sty 2021, o 23:35
Rozumiem, że ten konkurs już się zakończył?
1. Wskazówka
\(\displaystyle{ p^{4}+4=p^{4}+4p^{2}+4-4p^{2}=\ldots}\)
i poszukaj wzorów skróconego mnożenia. Pamiętaj, żeby potem pokrótce uzasadnić, że czynniki są większe niż
\(\displaystyle{ 1}\), bo sam rozkład na czynniki to za mało.
2. Wskazówka
\(\displaystyle{ k^{2}+50=(k+5)(k-5)+75}\), a więc
\(\displaystyle{ \frac{k^{2}+50}{k+5}=\frac{(k+5)(k-5)+75}{k+5}}\)
i rozpisz na sumę ułamków. Kiedy suma liczby całkowitej i liczby wymiernej jest całkowita? Musiałaby zajść podzielność, którą łatwo wykluczasz, analizując dzielniki liczby
\(\displaystyle{ 75}\): na pałę się okazuje, że żaden nie jest o pięć większy od liczby pierwszej (tu chyba rozpisywania nie unikniemy, ale nie ma go wiele).
Dalej fuu, planimetria, nawet nie czytam.
Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Bo jeśli chodzi o
\(\displaystyle{ \frac{75}{k+5}}\) to to rozumiem, dlaczego jest wymierną.
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 24 sty 2021, o 11:36
autor: Jan Kraszewski
PR713 pisze: ↑24 sty 2021, o 11:00Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Hmmm...
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}=k-5.}\)
JK
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 24 sty 2021, o 23:11
autor: PR713
Jan Kraszewski pisze: ↑24 sty 2021, o 11:36
PR713 pisze: ↑24 sty 2021, o 11:00Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Hmmm...
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}=k-5.}\)
JK
A no tak - nie było pytania
A skoro ma Pan doktora z matematyki ( i potrafi rozwiązać tego typu zadania jak każdy nauczyciel matematyki na poziomie licealnym a co dopiero uniwersyteckim ) to mógłby Pan pomóc z zadaniem 3 ? Chodzi mi o zarys rozwiązania.
Pozdrawiam
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 25 sty 2021, o 15:31
autor: piasek101
3) Do końca nie robiłem (teraz zacząłem i czas mi się kończy).
\(\displaystyle{ x;y}\) - szukane
\(\displaystyle{ k=\frac{y}{x}}\) przyjąłem \(\displaystyle{ y \ge x}\) (w jednym miejscu trzeba sprawdzić co będzie dla \(\displaystyle{ x=y}\), potem przyjąć, że \(\displaystyle{ y>x}\))
Przyprostokątne to \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ m-a}\).
Z podobieństwa i danego stosunku otrzymałem (przyprostokątne), oczywiście jak się nie pomyliłem :
\(\displaystyle{ a=\frac{m}{\sqrt k +1}}\)
\(\displaystyle{ m-a=\frac{m\sqrt k}{\sqrt k + 1}}\)
A z jednego trójkąta prostokątnego mamy \(\displaystyle{ x^2+h^2=a^2}\), a tak jak (prawie) napisał autor zadania \(\displaystyle{ h^2=xy=kx^2}\).
Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego
: 25 sty 2021, o 22:50
autor: PR713
piasek101 pisze: ↑25 sty 2021, o 15:31
3) Do końca nie robiłem (teraz zacząłem i czas mi się kończy).
\(\displaystyle{ x;y}\) - szukane
\(\displaystyle{ k=\frac{y}{x}}\) przyjąłem
\(\displaystyle{ y \ge x}\) (w jednym miejscu trzeba sprawdzić co będzie dla
\(\displaystyle{ x=y}\), potem przyjąć, że
\(\displaystyle{ y>x}\))
Przyprostokątne to
\(\displaystyle{ a}\) oraz
\(\displaystyle{ m-a}\).
Z podobieństwa i danego stosunku otrzymałem (przyprostokątne), oczywiście jak się nie pomyliłem :
\(\displaystyle{ a=\frac{m}{\sqrt k +1}}\)
\(\displaystyle{ m-a=\frac{m\sqrt k}{\sqrt k + 1}}\)
A z jednego trójkąta prostokątnego mamy
\(\displaystyle{ x^2+h^2=a^2}\), a tak jak (prawie) napisał autor zadania
\(\displaystyle{ h^2=xy=kx^2}\).
Według mnie gdzieś popełniłeś błąd, lecz nie mam wglądu do pełnych obliczeń
- Przewertowałem internet i znalazłem rozwiązanie ( rozwiązałem to bardzo podobnie jak tutaj ) i na 99% jest to rozwiązane dobrze (
[ciach] ) , Dziękuję za wskazówki
- temat do zamknięcia