Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: PR713 » 22 sty 2021, o 23:04

zad 1
Wykaż, że nie istnieje liczba pierwsza p taka, że liczba \(\displaystyle{ p^4+ 4}\) jest również pierwsza.
zad 2
Wykaż, że nie istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ k}\), dla której liczba \(\displaystyle{ \frac{k²+50}{k+5}}\) jest liczbą całkowitą.
zad 3
Oblicz długości odcinków przeciwprostokątnej na jakie dzieli ją wysokość poprowadzona w trójkącie prostokątnym jeśli wiadomo że, suma długości przyprostokątnych wynosi \(\displaystyle{ m}\) , zaś stosunek długości szukanych odcinków wynosi \(\displaystyle{ k}\). Wynik przedstaw w najprostszej postaci. ( Tutaj mam pomysł, aby użyć wzoru na trójkąt prostokątny, że \(\displaystyle{ h^2= a_1\cdot a_2}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) to odcinki, które powstały po podzieleniu boku \(\displaystyle{ a}\) ( przeciwprostokątnej ), na dwa odcinki )

Będę bardzo wdzięczny za jakąkolwiek sugestię do rozwiązania tych zadań :)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2021, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15544
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 5166 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: Premislav » 22 sty 2021, o 23:35

Rozumiem, że ten konkurs już się zakończył?

1. Wskazówka \(\displaystyle{ p^{4}+4=p^{4}+4p^{2}+4-4p^{2}=\ldots}\)
i poszukaj wzorów skróconego mnożenia. Pamiętaj, żeby potem pokrótce uzasadnić, że czynniki są większe niż \(\displaystyle{ 1}\), bo sam rozkład na czynniki to za mało.

2. Wskazówka \(\displaystyle{ k^{2}+50=(k+5)(k-5)+75}\), a więc \(\displaystyle{ \frac{k^{2}+50}{k+5}=\frac{(k+5)(k-5)+75}{k+5}}\)
i rozpisz na sumę ułamków. Kiedy suma liczby całkowitej i liczby wymiernej jest całkowita? Musiałaby zajść podzielność, którą łatwo wykluczasz, analizując dzielniki liczby \(\displaystyle{ 75}\): na pałę się okazuje, że żaden nie jest o pięć większy od liczby pierwszej (tu chyba rozpisywania nie unikniemy, ale nie ma go wiele).

Dalej fuu, planimetria, nawet nie czytam.

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: PR713 » 24 sty 2021, o 10:40

Post dodaję jeszcze raz :
Dzięki za naprowadzenie - już rozumiem i rozwiązałem te dwa zadania 🙂

Dodano po 20 minutach 18 sekundach:
Premislav pisze:
22 sty 2021, o 23:35
Rozumiem, że ten konkurs już się zakończył?

1. Wskazówka \(\displaystyle{ p^{4}+4=p^{4}+4p^{2}+4-4p^{2}=\ldots}\)
i poszukaj wzorów skróconego mnożenia. Pamiętaj, żeby potem pokrótce uzasadnić, że czynniki są większe niż \(\displaystyle{ 1}\), bo sam rozkład na czynniki to za mało.

2. Wskazówka \(\displaystyle{ k^{2}+50=(k+5)(k-5)+75}\), a więc \(\displaystyle{ \frac{k^{2}+50}{k+5}=\frac{(k+5)(k-5)+75}{k+5}}\)
i rozpisz na sumę ułamków. Kiedy suma liczby całkowitej i liczby wymiernej jest całkowita? Musiałaby zajść podzielność, którą łatwo wykluczasz, analizując dzielniki liczby \(\displaystyle{ 75}\): na pałę się okazuje, że żaden nie jest o pięć większy od liczby pierwszej (tu chyba rozpisywania nie unikniemy, ale nie ma go wiele).

Dalej fuu, planimetria, nawet nie czytam.
Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Bo jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \frac{75}{k+5}}\) to to rozumiem, dlaczego jest wymierną.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: Jan Kraszewski » 24 sty 2021, o 11:36

PR713 pisze:
24 sty 2021, o 11:00
Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Hmmm...

\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}=k-5.}\)

JK

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: PR713 » 24 sty 2021, o 23:11

Jan Kraszewski pisze:
24 sty 2021, o 11:36
PR713 pisze:
24 sty 2021, o 11:00
Tylko skąd wiemy, że liczba
\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}}\) po rozpisaniu na sumę ułamków jest całkowita ? Dlatego, że czynnik ze wzoru skróconego mnożenia występuje w mianowniku?
Hmmm...

\(\displaystyle{ \frac{(k+5)(k-5)}{k+5}=k-5.}\)

JK
A no tak - nie było pytania
A skoro ma Pan doktora z matematyki ( i potrafi rozwiązać tego typu zadania jak każdy nauczyciel matematyki na poziomie licealnym a co dopiero uniwersyteckim ) to mógłby Pan pomóc z zadaniem 3 ? Chodzi mi o zarys rozwiązania.
Pozdrawiam

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23360
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3226 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: piasek101 » 25 sty 2021, o 15:31

3) Do końca nie robiłem (teraz zacząłem i czas mi się kończy).

\(\displaystyle{ x;y}\) - szukane

\(\displaystyle{ k=\frac{y}{x}}\) przyjąłem \(\displaystyle{ y \ge x}\) (w jednym miejscu trzeba sprawdzić co będzie dla \(\displaystyle{ x=y}\), potem przyjąć, że \(\displaystyle{ y>x}\))

Przyprostokątne to \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ m-a}\).

Z podobieństwa i danego stosunku otrzymałem (przyprostokątne), oczywiście jak się nie pomyliłem :
\(\displaystyle{ a=\frac{m}{\sqrt k +1}}\)

\(\displaystyle{ m-a=\frac{m\sqrt k}{\sqrt k + 1}}\)

A z jednego trójkąta prostokątnego mamy \(\displaystyle{ x^2+h^2=a^2}\), a tak jak (prawie) napisał autor zadania \(\displaystyle{ h^2=xy=kx^2}\).

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Zadania z konkursu powiatowego/wojewódzkiego

Post autor: PR713 » 25 sty 2021, o 22:50

piasek101 pisze:
25 sty 2021, o 15:31
3) Do końca nie robiłem (teraz zacząłem i czas mi się kończy).

\(\displaystyle{ x;y}\) - szukane

\(\displaystyle{ k=\frac{y}{x}}\) przyjąłem \(\displaystyle{ y \ge x}\) (w jednym miejscu trzeba sprawdzić co będzie dla \(\displaystyle{ x=y}\), potem przyjąć, że \(\displaystyle{ y>x}\))

Przyprostokątne to \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ m-a}\).

Z podobieństwa i danego stosunku otrzymałem (przyprostokątne), oczywiście jak się nie pomyliłem :
\(\displaystyle{ a=\frac{m}{\sqrt k +1}}\)

\(\displaystyle{ m-a=\frac{m\sqrt k}{\sqrt k + 1}}\)

A z jednego trójkąta prostokątnego mamy \(\displaystyle{ x^2+h^2=a^2}\), a tak jak (prawie) napisał autor zadania \(\displaystyle{ h^2=xy=kx^2}\).
Według mnie gdzieś popełniłeś błąd, lecz nie mam wglądu do pełnych obliczeń :cry: - Przewertowałem internet i znalazłem rozwiązanie ( rozwiązałem to bardzo podobnie jak tutaj ) i na 99% jest to rozwiązane dobrze ( [ciach] ) , Dziękuję za wskazówki :) - temat do zamknięcia
Ostatnio zmieniony 25 sty 2021, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Złamanie punktu III.6.7. Regulaminu.

ODPOWIEDZ