Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
witia1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 27 maja 2017, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krasnystaw
Podziękował: 30 razy

Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: witia1990 »

Witam,
Mam takie zadanie:
W trójkącie ostrokątnym ABC kąt ABC ma miarę 60 stopni , \(\displaystyle{ AB = 8}\) oraz \(\displaystyle{ CA = 7}\). Obwód tego
trójkąta jest równy

A. \(\displaystyle{ 15 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{33}}\); B. 20 ; C. \(\displaystyle{ 19 - \sqrt{2}}\); D. 18 ; E. \(\displaystyle{ 18+4 \sqrt{3}- \sqrt{33}}\) .

Wychodzi mi równanie kwadratowe, z którego wynika, że:
\(\displaystyle{ BC=3 \vee BC=5}\).
W jaki sposób bez użycia sinusów i cosinusów pokazać, że \(\displaystyle{ BC=5}\)?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: Janusz Tracz »

hint 1:    
hint 2:    
hint 3:    
witia1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 27 maja 2017, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krasnystaw
Podziękował: 30 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: witia1990 »

Janusz Tracz pisze: 20 wrz 2020, o 16:32
hint 1:    
hint 2:    
hint 3:    
Tak, zrobiłem i z tego właśnie wychodzi , że \(\displaystyle{ BC=3 \vee BC =5}\)
Ale jak pokazać, że musi być 5? (Bez użycia sinusów i cosinusów bo jesteśmy w gimnazjum)?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: Janusz Tracz »

hint 4:    
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: piasek101 »

Albo poprowadź wysokość AD, nic nie będziesz musiał sprawdzać.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: PR713 »

Poprowadź wysokość \(\displaystyle{ AD}\), następnie zauważ, że skoro kąt \(\displaystyle{ ADB = 90^\circ}\), kąt \(\displaystyle{ ABD = 60^\circ}\), to kąt \(\displaystyle{ BAD = 180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ}\). Teraz skorzystaj, z własności trójkąta \(\displaystyle{ 90,60}\) i \(\displaystyle{ 30}\) stopni. Przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AB}\) to \(\displaystyle{ 2a, BD = a}\), natomiast \(\displaystyle{ AD = a\sqrt{3}}\) , stąd skoro znamy \(\displaystyle{ AB = 2a = 8}\), więc \(\displaystyle{ a=4 \rightarrow a\sqrt{3} = 4 \sqrt{3}}\) . Teraz z tw. Pitagorasa mamy :
\(\displaystyle{ \left(4\sqrt{3}\right)^{2} + x^{2} = 7^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to szukany odcinek \(\displaystyle{ CD}\)
stąd \(\displaystyle{ x = 1}\), czyli \(\displaystyle{ |CB| = 4+1 = 5}\) :)

ps coś wam się Latex popsuł, albo ja go nie umiem używać...
Ostatnio zmieniony 28 sty 2021, o 16:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: Jan Kraszewski »

PR713 pisze: 28 sty 2021, o 14:07ps coś wam się Latex popsuł, albo ja go nie umiem używać...
Ty nie umiesz go używać. Nie wystarczy zakodować, trzeba jeszcze otagować.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: a4karo »

Jak dla mnie, to żadna z liczb w odpowiedzi nie jest całkowitą. Zakładając, że jedna odpowiedź jest prawidłowa, `BC` nie może być równe ani `3` ani `5`.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: piasek101 »

a4karo pisze: 28 sty 2021, o 16:58 Jak dla mnie, to żadna z liczb w odpowiedzi nie jest całkowitą.
Przecież
witia1990 pisze: 20 wrz 2020, o 15:24 B. 20
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Obwód trójkąta (MKM Gimnazjum 2018_2019 etap szkolny)

Post autor: a4karo »

A, sorry, nie zauważyłem. No to teraz już wiesz ile wynosi `BC`. W zadaniach, gdzie jest wybór często nie trzeba robić żadnych rachunków :)
ODPOWIEDZ