Matematyka.pl

Witam,
Mam takie zadanie:
W trójkącie ostrokątnym ABC kąt ABC ma miarę 60 stopni , \(\displaystyle{ AB = 8}\) oraz \(\displaystyle{ CA = 7}\). Obwód tego
trójkąta jest równy

A. \(\displaystyle{ 15 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{33}}\); B. 20 ; C. \(\displaystyle{ 19 - \sqrt{2}}\); D. 18 ; E. \(\displaystyle{ 18+4 \sqrt{3}- \sqrt{33}}\) .

Wychodzi mi równanie kwadratowe, z którego wynika, że:
\(\displaystyle{ BC=3 \vee BC=5}\).
W jaki sposób bez użycia sinusów i cosinusów pokazać, że \(\displaystyle{ BC=5}\)?

Janusz Tracz pisze: ↑20 wrz 2020, o 16:32

hint 1:    

Poprowadź wysokość z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\). Nazwijmy spodek wysokości jako \(\displaystyle{ O}\).

hint 2:    

Powstał szczególny trójkąt \(\displaystyle{ 30^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}}\). Wyraź wszystkie jego boki w zależności od \(\displaystyle{ BC}\)

hint 3:    

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ AOC}\)

Tak, zrobiłem i z tego właśnie wychodzi , że \(\displaystyle{ BC=3 \vee BC =5}\)
Ale jak pokazać, że musi być 5? (Bez użycia sinusów i cosinusów bo jesteśmy w gimnazjum)?

Albo poprowadź wysokość AD, nic nie będziesz musiał sprawdzać.

Poprowadź wysokość \(\displaystyle{ AD}\), następnie zauważ, że skoro kąt \(\displaystyle{ ADB = 90^\circ}\), kąt \(\displaystyle{ ABD = 60^\circ}\), to kąt \(\displaystyle{ BAD = 180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ}\). Teraz skorzystaj, z własności trójkąta \(\displaystyle{ 90,60}\) i \(\displaystyle{ 30}\) stopni. Przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AB}\) to \(\displaystyle{ 2a, BD = a}\), natomiast \(\displaystyle{ AD = a\sqrt{3}}\) , stąd skoro znamy \(\displaystyle{ AB = 2a = 8}\), więc \(\displaystyle{ a=4 \rightarrow a\sqrt{3} = 4 \sqrt{3}}\) . Teraz z tw. Pitagorasa mamy :
\(\displaystyle{ \left(4\sqrt{3}\right)^{2} + x^{2} = 7^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to szukany odcinek \(\displaystyle{ CD}\)
stąd \(\displaystyle{ x = 1}\), czyli \(\displaystyle{ |CB| = 4+1 = 5}\)

ps coś wam się Latex popsuł, albo ja go nie umiem używać...

PR713 pisze: ↑28 sty 2021, o 14:07ps coś wam się Latex popsuł, albo ja go nie umiem używać...

Ty nie umiesz go używać. Nie wystarczy zakodować, trzeba jeszcze otagować.

JK

Jak dla mnie, to żadna z liczb w odpowiedzi nie jest całkowitą. Zakładając, że jedna odpowiedź jest prawidłowa, `BC` nie może być równe ani `3` ani `5`.

a4karo pisze: ↑28 sty 2021, o 16:58 Jak dla mnie, to żadna z liczb w odpowiedzi nie jest całkowitą.

Przecież

witia1990 pisze: ↑20 wrz 2020, o 15:24 B. 20

A, sorry, nie zauważyłem. No to teraz już wiesz ile wynosi `BC`. W zadaniach, gdzie jest wybór często nie trzeba robić żadnych rachunków