[Równania funkcyjne]

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
jakub___
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 kwie 2020, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Katowice

[Równania funkcyjne]

Post autor: jakub___ »

Witam wszystkich potrzebuje pomoc z takim równaniem funkcyjnym:
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(f(x))+y}\)
Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
Po sprawdzeniu okazuje się że funkcja spełnia podane równanie. Więc w czym problem? Nigdy nie używałem podstawienia, w którym występowała by szukana funkcja i nie wiem czy to dopuszczalne. Prosiłbym o zweryfikowanie odpowiedzi i jej ewentualną poprawę. Nawet jeśli rozwiązanie jest poprawne a ktoś znajdzie inne to chętnie poczytam!
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

jakub___ pisze: 9 kwie 2020, o 18:53 Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
To podstawienie przypomina bardziej zgadywanie rozwiązania, Jak ma się podstawienie do tego co wyszło czyli podstawiasz\(\displaystyle{ f(x)=x+y}\) a dostajesz? W sensie, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) (Twój wniosek) czyli \(\displaystyle{ x+y=x}\) zatem \(\displaystyle{ y=0}\). Pokazałeś, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest dobrą funkcją ale czy jedyną? Ja zauważyłem taką, rzecz: po prawej mamy wyrażanie symetryczne względem \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) zatem po lewej też powinno być symetrycznie czyli \(\displaystyle{ f(f(x))+y=f(f(y))+x}\) a to upraszcza się do:

\(\displaystyle{ \frac{f(f(x))-f(f(y))}{x-y}=1 }\)

oczywiście dla \(\displaystyle{ x \neq y}\). Gdy \(\displaystyle{ x \approx y}\) to wyrażanie powyżej oznacza, że pochodna \(\displaystyle{ f(f(x))}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Co oznacza, że \(\displaystyle{ f(f(x))=x+c}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\)) kładąc to do początkowego równania dostaniemy:

\(\displaystyle{ f(x+y)=x+y+c}\)

Zatem

\(\displaystyle{ f(z)=z+c}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: a4karo »

To podstawienie nie jest uprawnioen, bo zakłąda, że `y=f(x)-x`. A przecież obrazem funkcji `f(x)-x` wcale nie musi być cały zbiór liczb rzeczywistych.

Dodano po 1 minucie 50 sekundach:
Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 19:31

\(\displaystyle{ f(z)=z+c}\)
\(f(x+y)=x+y+c\neq f(f(x))+y=f(x+c)+y=x+y+2c\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

a4karo dziękuję za czujność. Należy zatem jeszcze sprawdzić dla jakich stałych \(\displaystyle{ c}\) rozwiązanie jest faktycznie rozwiązaniem. Równość zajdzie jedynie dla \(\displaystyle{ c=0}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\).
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Tmkk »

Inny sposób:

Wstawiamy \(\displaystyle{ x=0, y = f(0)}\), otrzymując \(\displaystyle{ f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)}\), więc \(\displaystyle{ f(0) = 0}\).
Wstawiamy \(\displaystyle{ y=-x}\), otrzymując \(\displaystyle{ f(0) = f(f(x)) -x}\), więc \(\displaystyle{ f(f(x)) = x}\)
Wstawiamy powyższa do równania, otrzymując \(\displaystyle{ f(x+y) = x+y}\), więc \(\displaystyle{ f(x) = x}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: bosa_Nike »

Wg mnie ten problem jest przede wszystkim tak se postawiony. Nie wiadomo, co w/na co jest odwzorowywane, nie wiadomo, czy są jakieś dodatkowe dane o naturze szukanej funkcji. Jeżeli nie mamy różniczkowalności, to nie można z niej skorzystać. Jeżeli \(\displaystyle{ 0,f(0)}\) są w dziedzinie, to wystarczy jak wyżej, ale tego na razie nie wiemy.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

bosa_Nike pisze: 9 kwie 2020, o 20:00 Jeżeli nie mamy różniczkowalności, to nie można z niej skorzystać.
Tylko, że ja nie założyłem różniczkowalności tylko samoistnie okazało się, że \(\displaystyle{ f\circ f}\) ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą \(\displaystyle{ 1}\).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: bosa_Nike »

A przypadkiem nie potrzebujesz do tego ciągłości? A co np. z dyskretną dziedziną?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

Ciągłość wynika z różniczkowalności (dlatego już o tym nie pisałem). Pokazałem, że funkcja \(\displaystyle{ f\circ f}\) dla dowolnych (różnych od siebie) \(\displaystyle{ x,y}\) spełnia warunek

\(\displaystyle{ \frac{f(f(x))-f(f(y))}{x-y}=1}\)

zatem dla dolnego \(\displaystyle{ x_0}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{f(f(x))-f(f(x_0))}{x-x_0} \cdot \left( x-x_0\right) = 1 \cdot 0 =0 }\)

czyli po przekształceniu

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(f(x))=f(f(x_0))}\)

W żadnym miejscy nie zakładam różniczkowalni ani ciągłości. Jedynie sam fakt iż funkcja spełnia takie a nie inne zależności pozwala wnioskować o ciągłości i różniczkowalności. Jeśli o dziedzinę chodzi to nie zmieni ona wyniku (w senie wzoru funkcji). Jeśli więc nawet dziedzina była by dyskretna to funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x}\) obcinamy do ów dziedziny.
jakub___
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 kwie 2020, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Lokalizacja: Katowice

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: jakub___ »

Ops, zapomniałem o reszcie treści funkcja jest oczywiście \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR }\) a podane wcześniej równanie spełnia dla każdego
\(\displaystyle{ x,y \in \RR}\)
Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 19:31
jakub___ pisze: 9 kwie 2020, o 18:53 Moje rozwiązanie wygląda tak:
podstawiamy \(\displaystyle{ x+y=f(x)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(x))=f(f(x))+f(x)-x}\)
co daje
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
To podstawienie przypomina bardziej zgadywanie rozwiązania
Na tym często polega rozwiązywanie równań funkcyjnych :) , szczególnie tych ze szkolnych konkursów, ale ciągle ciekawi mnie czy to podstawienie, nawet jeśli trochę niedbałe, to czy jest poprawne, za rozwiązania i dyskusje bardzo dziękuje oczywiście.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

Na tym często polega rozwiązywanie równań funkcyjnych
Tak ale nie polega to na nieuprawnionym założeniu którego nie poddajemy późniejszej weryfikacji.
ale ciągle ciekawi mnie czy to podstawienie, nawet jeśli trochę niedbałe, to czy jest poprawne
Ono nie jest niedbałe tylko niepoprawne niestety. Jest ogólnie nieuprawnione tak jak a4karo wspomniał oraz zakłada pewną postać funkcji \(\displaystyle{ f}\) (która to dopiero potem okazuje się być słuszna).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: bosa_Nike »

@Janusz Tracz - niestety, nie mogę się zgodzić z tym, co piszesz trzy posty wyżej. Funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}}\) o wzorze \(\displaystyle{ f(x)=x}\) spełnia równanie z pierwszego postu, ale nie jest ciągła, no i nie jest różniczkowalna. A skoro spełnia to równanie, to wg Twojego rozumowania powinna być, bo wszystkie funkcje spełniające to równanie mają taką naturę. To, co ty robisz, to właśnie założenie ciągłości, by uzyskać różniczkowalność. W dalszej części posta argumentujesz wnioskując w przeciwną stronę.
Janusz Tracz pisze: 9 kwie 2020, o 20:43 Jeśli więc nawet dziedzina była by dyskretna to funkcję f(x)=x obcinamy do ów dziedziny.
Żeby obciąć, trzeba najpierw rozszerzyć (nawet milcząco), więc tu masz założenie ciągłości też zamanifestowane.

PS Mam trzy problemy z tym cytatem, w tym jeden śmiertelnie poważny, ale niech tam...
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Dasio11 »

Oczywistym jest, że podstawienie \(\displaystyle{ x+y = f(x)}\) polega na dobraniu odpowiedniego \(\displaystyle{ y}\) do ustalonego \(\displaystyle{ x}\), co zawsze da się zrobić, zatem rozwiązanie jest w stu procentach poprawne, a nawet - ośmielam się twierdzić - optymalne.

A jeśli chodzi o wątek poboczny:
bosa_Nike pisze: 9 kwie 2020, o 21:32To, co ty robisz, to właśnie założenie ciągłości, by uzyskać różniczkowalność.
to rozwiązanie Janusza Tracza jest poprawne przy obwieszczonym później założeniu, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, ale zupełnie nie widzę, jak to założenie zastąpić ciągłością. Możesz mi to wyjaśnić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Premislav »

bosa Nike pisze:Funkcja \(\displaystyle{ \NN\rightarrow \NN}\) o wzorze \(\displaystyle{ f(x)=x}\) spełnia równanie z pierwszego postu, ale nie jest ciągła, no i nie jest różniczkowalna.
Że nie jest różniczkowalna, to się zgodzę, ale ciągła jest, choć to trochę nieintuicyjne. Więcej: bezpośrednio z definicji ciągłości wynika, że dowolna \(\displaystyle{ f: \NN \mapsto D}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \RR}\) (rozpatrywanego z metryką euklidesową ofc), jest funkcją ciągłą.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Równania funkcyjne]

Post autor: Janusz Tracz »

Żeby obciąć, trzeba najpierw rozszerzyć (nawet milcząco), więc tu masz założenie ciągłości też zamanifestowane.
Tak, milcząco założyłem, że dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\) ale nie rozumiem dlaczego miało by to jakiś wpływ na ciągłość. Ciągłość wynika z kształtu samego równana, z jego własności. Nigdzie też nie stwierdziłem, że niepodanie dziedziny przez autora (na początku) jest słuszne czy, że dziedzina wynika z własności równania. Zgadzam się z Tobą, że dziedzina powinna być od samego początku ale jeśli o ciągłość i różniczkowalność chodzi to samo równanie gwarantuje takową (przy rozszerzonej do \(\displaystyle{ \RR}\) dziedzinie).
ODPOWIEDZ