Układ równań z XXIII Konkursu prof. Jana Marszała

[Gos_ox]

Rozwiązać układ trzech równań ze zmiennymi \(\displaystyle{ x, y, z}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{yz}{y+z}=a\\ \frac{xz}{x+z}=b\\ \frac{xy}{x+y}=c.\end{cases}}\)

[Premislav]

Oczywiście co najwyżej jedna zmienna może być równa zero i taka możliwość istnieje tylko gdy dwa spośród parametrów \(\displaystyle{ a,b,c}\) mają wartość \(\displaystyle{ 0}\). Wówczas łatwo podać rozwiązania.

Zakładając zaś, że \(\displaystyle{ abc\neq 0}\) możemy sprowadzić ten układ do następującego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac 1 y+\frac 1 z=\frac 1 a \\ \frac{1}{z}+\frac 1 {x}=\frac 1 b\\ \frac 1 x+\frac 1 y=\frac 1 c \end{cases}}\)
i stąd łatwo wyliczyć, że
\(\displaystyle{ \frac 1 x=\frac 1 2\left( \frac 1 b+\frac 1 c-\frac 1 a\right)\\ \frac 1 y=\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 c-\frac 1 b\right)\\ \frac 1 z=\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 b-\frac 1 c\right)}\)
Jeśli któryś z tych czynników w dużych nawiasach jest zerem, to nie ma rozwiązań, a w przeciwnym razie
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 b+\frac 1 c-\frac 1 a\right)}\\ y=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 c-\frac 1 b\right)}\\ z=\frac{1}{\frac 1 2\left( \frac 1 a+\frac 1 b-\frac 1 c\right)}}\)

Generalnie najważniejszą moją obserwacją tutaj jest to, że jeśli \(\displaystyle{ xy\neq 0}\), to
\(\displaystyle{ \frac{xy}{x+y}=\frac{1}{\frac 1 x+\frac 1 y}}\), co jest na poziomie późnej podstawówki lub czegoś w tych okolicach.