Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Gos_ox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 lip 2018, o 22:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: Gos_ox »

Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\)obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ x, y, z}\).Udowodnij, że suma kwadratów tych odległości jest mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\).
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: Lider_M »

Jako że jestem często ślepy w zadaniach geometrycznych, dawno temu nauczyłem się rozwiązywać zadania metodami analitycznymi, niektóre 'idą' bardzo łatwo. To udało mi się zrobić prosto z liczb zespolonych, ale da się też to przerobić na 'standardowe' rozwiązanie analityczne.
Szkic (zespol.):    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: bosa_Nike »

Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 19 lip 2018, o 22:38 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 1 raz.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: janusz47 »

Dla kwadratów odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta od jego boków prawdziwe jest twierdzenie wynikające z twierdzenia Vincenta Vivianiego

W dowolnym trójkącie równobocznym suma kwadratów odległości dowolnego punktu \(\displaystyle{ \mathclal{P}}\) leżącego wewnątrz trójkąta od jego boków jest równa \(\displaystyle{ \frac{h^2}{2},}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) jest wysokością trójkąta równobocznego.

Co możemy zapisać

\(\displaystyle{ s^2 +t^2 +u^2 = \frac{h^2}{2}}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: bosa_Nike »

@up - no nie za bardzo. Przecież dla punktu leżącego bardzo blisko wierzchołka to wyrażenie powinno mieć wartość zbliżoną do kwadratu wysokości, a nie do połowy tego kwadratu, a poza tym to w ogóle nie jest stałe.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: Premislav »

@bosa_Nike – to, co napisał janusz47, jest prawdą, ale ma się nijak do treści zadania, ponieważ w zadaniu mowa jest o odległościach między punktem wewnętrznym \(\displaystyle{ P}\) a wierzchołkami trójkąta, nie zaś bokami. Najpewniej po prostu janusz47 nieuważnie przeczytał treść zadania.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: bosa_Nike »

Nie, nie jest prawdą. Jeżeli trójkąt nie jest punktem, to dla \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku mamy \(\displaystyle{ s^2+t^2+u^2=0^2+0^2+h^2=h^2\neq\frac{h^2}{2}}\). Co do stałej wartości, to weź trójkąt równoboczny, wyróżnij jedną wysokość, a później np. umieść \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku, z którego jest opuszczona, następnie w środku okręgu wpisanego, a w końcu w spodku tej wyróżnionej wysokości - będzie łatwiej to przeliczyć.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała

Post autor: Premislav »

Dobra, faktycznie, jak zwykle bzdury piszę, sorry za zawracanie głowy.
ODPOWIEDZ