Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\)obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ x, y, z}\).Udowodnij, że suma kwadratów tych odległości jest mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\).
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Jako że jestem często ślepy w zadaniach geometrycznych, dawno temu nauczyłem się rozwiązywać zadania metodami analitycznymi, niektóre 'idą' bardzo łatwo. To udało mi się zrobić prosto z liczb zespolonych, ale da się też to przerobić na 'standardowe' rozwiązanie analityczne.
Szkic (zespol.):
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Dla kwadratów odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta od jego boków prawdziwe jest twierdzenie wynikające z twierdzenia Vincenta Vivianiego
W dowolnym trójkącie równobocznym suma kwadratów odległości dowolnego punktu \(\displaystyle{ \mathclal{P}}\) leżącego wewnątrz trójkąta od jego boków jest równa \(\displaystyle{ \frac{h^2}{2},}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) jest wysokością trójkąta równobocznego.
Co możemy zapisać
\(\displaystyle{ s^2 +t^2 +u^2 = \frac{h^2}{2}}\)
W dowolnym trójkącie równobocznym suma kwadratów odległości dowolnego punktu \(\displaystyle{ \mathclal{P}}\) leżącego wewnątrz trójkąta od jego boków jest równa \(\displaystyle{ \frac{h^2}{2},}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) jest wysokością trójkąta równobocznego.
Co możemy zapisać
\(\displaystyle{ s^2 +t^2 +u^2 = \frac{h^2}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1664
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
@up - no nie za bardzo. Przecież dla punktu leżącego bardzo blisko wierzchołka to wyrażenie powinno mieć wartość zbliżoną do kwadratu wysokości, a nie do połowy tego kwadratu, a poza tym to w ogóle nie jest stałe.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
@bosa_Nike – to, co napisał janusz47, jest prawdą, ale ma się nijak do treści zadania, ponieważ w zadaniu mowa jest o odległościach między punktem wewnętrznym \(\displaystyle{ P}\) a wierzchołkami trójkąta, nie zaś bokami. Najpewniej po prostu janusz47 nieuważnie przeczytał treść zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1664
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Nie, nie jest prawdą. Jeżeli trójkąt nie jest punktem, to dla \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku mamy \(\displaystyle{ s^2+t^2+u^2=0^2+0^2+h^2=h^2\neq\frac{h^2}{2}}\). Co do stałej wartości, to weź trójkąt równoboczny, wyróżnij jedną wysokość, a później np. umieść \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku, z którego jest opuszczona, następnie w środku okręgu wpisanego, a w końcu w spodku tej wyróżnionej wysokości - będzie łatwiej to przeliczyć.