Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Post autor: PokEmil » 5 gru 2017, o 23:11

Witam. Dnia dzisiejszego miał miejsce II etap konkursu kuratoryjnego z matematyki w woj. lubelskim. Jedno z zadań polegało na odpowiedzeniu Tak/Nie stwierdzeń i jego uzasadnieniu. Mam pewne wątpliwości co do tego podpunktu:
"Liczba \(\displaystyle{ A}\) jest większa od \(\displaystyle{ B}\).

\(\displaystyle{ A =5+ \frac{9}{8} + \frac{6}{ 8^{2} } + \frac{3}{ 8^{3} } + \frac{5}{ 8^{4} }}\)

\(\displaystyle{ B=5+ \frac{9}{8} + \frac{5}{ 8^{2} } + \frac{6}{ 8^{3} } + \frac{7}{ 8^{4} }}\) ".

Osobiście nie mogłem dostrzec żadnego powiązania, żeby ładnie wyszło jednym działaniem, więc podałem takie uzasadnienie:
Odejmijmy \(\displaystyle{ 5+ \frac{9}{8}}\) od obu liczb, a następnie pomnóżmy przez \(\displaystyle{ 8^4}\).
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 8^4 \cdot \left( A-\left( 5+ \frac{9}{8}\right)\right) = 384 + 24 + 5 = 413}\)
oraz
\(\displaystyle{ 8^4 \cdot \left( B-\left( 5+ \frac{9}{8}\right)\right) = 320 + 48 + 7 = 375}\).
Zatem, \(\displaystyle{ A>B}\).

Odp. Tak.

Metoda "na pałę", chociaż jestem przekonany, że należało to jakoś sprytnie obliczyć, ale innej metody znaleźć nie mogę, ktoś pomoże? Swoją drogą, dostanę za ten podpunkt maksymalną liczbę punktów (2p.)? Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś odpowiedział na moje pytania.
Ostatnio zmieniony 8 gru 2017, o 02:47 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Używaj nawiasów „wbudowanych” w LaTeX i skaluj je w miarę potrzeby.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Post autor: Zahion » 5 gru 2017, o 23:15

To nie wygląda nawet na zadanie, w którym wypadałoby użyć czegoś ponad. Po prostu mamy
\(\displaystyle{ A - B = \frac{1}{8^{2}} - \frac{3}{8^{3}} - \frac{2}{8^{4}} = \frac{1}{8^{2}} \left( 1 - \frac{3}{8} - \frac{2}{64} \right) > 0}\). Oczywiście widać, że to wyrażenie jest większe od \(\displaystyle{ 0}\) .

PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Post autor: PokEmil » 5 gru 2017, o 23:20

Kurczę, faktycznie tak też można to było zrobić. Dzięki!

enedil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Post autor: enedil » 7 gru 2017, o 20:07

Można też zauważyć, że:
\(\displaystyle{ A = (5.9635)_8 \\ B = (5.9567)_8}\)
zapisane w systemie ósemkowym, stąd oczywiście \(\displaystyle{ A > B}\) .

PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Która z liczb jest większa? II etap konkursu kuratoryjnego.

Post autor: PokEmil » 7 gru 2017, o 21:30

Clever! Tak najpierw coś myślałem, że skoro \(\displaystyle{ \frac{6}{ 8^{2} } > \frac{5}{ 8^{2} }}\) , to \(\displaystyle{ A>B}\), ale wolałem napisać uzasadnienie "na pałę", żeby nie było żadnych wątpliwości.

ODPOWIEDZ