Matematyka.pl

Konkurs odbył się trochę dawno, bo 20.10.2016. Nie potrafiłem rozwiązać wtedy pierwszego zadania, a dzisiaj znalazłem to zadanie i nie umiem dalej go wykonać.
Oto treść zadania:

Wykaż, że dla dodatnich liczb c,d takich,że \(\displaystyle{ cd\ge 2016c+2017d}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{c+d}\ge \sqrt{2016} + \sqrt{2017}}\) .

Jeżeli znasz nierówność Cauchy'ego-Schwarza, to użyj: \(\displaystyle{ (c+d)\cdot 1\ge (d+c)\cdot\left(\frac{2016}{d}+\frac{2017}{c}\right)}\)

bosa_Nike i Janusz Tracz - nie potrafię wykonać tymi sposobami, bo ich się nigdy nie nauczyłem (dopiero ukończyłem liceum)

Zahion - nie rozumiem skąd się wzięła ta linijka, którą napisałeś. Czy mógłbyś jakoś zacząć rozwiązywać zadanie lub rozwiązać, bo nie potrafię? Dziękuję

To jest zadanie konkursowe więc nie jestem pewien czy poziom tego typu zadań można porównywać z licealnymi metodami, no nie ważne... Poniższe rozwiązanie teoretycznie nie wykorzystuje nic spoza programu liceum.

Dziękuję bardzo wszystkim za odpowiedź, a Tobie Janusz Tracz szczególnie

Chciałbym jeszcze zapytać, czy to aby skorzystać tutaj z tego lematu pomocniczego i pomysł, aby wektory były te a nie inne przyszedł Ci sam do głowy, czy jest jakiś schemat w rozwiązywaniu takiego typu zadań?
Podziwiam Twoją wiedzę i umiejętności matematyczne. Zastanawiam się, czy jesteś po jakichś studiach?

Chciałbym jeszcze zapytać, czy to aby skorzystać tutaj z tego lematu pomocniczego i pomysł, aby wektory były te a nie inne przyszedł Ci sam do głowy, czy jest jakiś schemat w rozwiązywaniu takiego typu zadań?

Nie ma ogólnego schematu (wręcz algorytmu) rozwiązywania zadań (szczególnie konkursowych) ale nie znaczy to że nie ma pewnych wskazówek czego w zadaniu użyć. Bosa_Nike, zauważyła że w zadaniu można zastosować nierówność Cauchy'ego-Schwarza a ja dość cwanie użyłem tej nierówności tutaj tylko że nie nazwałem jej po imieniu i odwołałem jest do wektorów które są w liceum. Nie wpadłem na te wektory pod wpływem olśnienia a raczej dopasowałem je tak żeby pasowało choć nie ukrywam że osoba znająca nierówność Cauchy'ego-Schwarza ma dużą przewagę w takim "zgadywaniu". Dlatego polecam zobaczyć

Podziwiam Twoją wiedzę i umiejętności matematyczne. Zastanawiam się, czy jesteś po jakichś studiach?

To tylko złudzenie (niestety...). Wiem jak to działa i wiem jak mało umiem, myślisz że ktoś jest dobry z matematyki bo zrobił zadanie którego nie umiało zrobić się osobiście. Ale takie patrzenie na to jest dość mylące i nie jest wyznacznikiem bycia dobrym z matematyki. Oczywiście dziękuje za miłe sława. A po studiach nie jestem.

Julian1998,
równość początkowa - wystarczy wymnożyć. Co do nierówności - otóż skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ xy \le \left( \frac{x+y}{2}\right)^{2}}\), kładąc kolejno \(\displaystyle{ x = c - 2017, y = d - 2016}\), a to o tyle prosta nierówność, że zwija się praktycznie automatycznie do \(\displaystyle{ \left( x - y \right)^{2} \ge 0}\).

Janusz Tracz pisze:

To tylko złudzenie (niestety...). Wiem jak to działa i wiem jak mało umiem, myślisz że ktoś jest dobry z matematyki bo zrobił zadanie którego nie umiało zrobić się osobiście. Ale takie patrzenie na to jest dość mylące i nie jest wyznacznikiem bycia dobrym z matematyki. Oczywiście dziękuje za miłe sława. A po studiach nie jestem.

Widziałem, na Twoim profilu, że pomogłeś wielu osobom w całkach, w liczbach urojonych i innych tematach, które wykraczają poza kształcenie średnie dzisiaj.
Dlatego się zastanawiam skąd masz tę wiedzę? Bo też masz na profilu ustawione 20 lat i w ogóle.

Czy ma ktoś może zadania z finału dla klas 3?