XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Julian1998 » 22 sie 2017, o 10:54

Konkurs odbył się trochę dawno, bo 20.10.2016. Nie potrafiłem rozwiązać wtedy pierwszego zadania, a dzisiaj znalazłem to zadanie i nie umiem dalej go wykonać.
Oto treść zadania:

Wykaż, że dla dodatnich liczb c,d takich,że \(\displaystyle{ cd\ge 2016c+2017d}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{c+d}\ge \sqrt{2016} + \sqrt{2017}}\) .

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1603
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 425 razy

XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: bosa_Nike » 22 sie 2017, o 11:55

Jeżeli znasz nierówność Cauchy'ego-Schwarza, to użyj: \(\displaystyle{ (c+d)\cdot 1\ge (d+c)\cdot\left(\frac{2016}{d}+\frac{2017}{c}\right)}\)
PS:    

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3515
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Janusz Tracz » 22 sie 2017, o 13:02

Szkic innego rozwiązania.:    

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Zahion » 22 sie 2017, o 20:28

Ukryta treść:    

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Julian1998 » 23 sie 2017, o 12:15

bosa_Nike i Janusz Tracz - nie potrafię wykonać tymi sposobami, bo ich się nigdy nie nauczyłem (dopiero ukończyłem liceum)

Zahion - nie rozumiem skąd się wzięła ta linijka, którą napisałeś. Czy mógłbyś jakoś zacząć rozwiązywać zadanie lub rozwiązać, bo nie potrafię? Dziękuję

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3515
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Janusz Tracz » 23 sie 2017, o 12:46

To jest zadanie konkursowe więc nie jestem pewien czy poziom tego typu zadań można porównywać z licealnymi metodami, no nie ważne... Poniższe rozwiązanie teoretycznie nie wykorzystuje nic spoza programu liceum.
innymi słowy:    

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Julian1998 » 23 sie 2017, o 15:43

Dziękuję bardzo wszystkim za odpowiedź, a Tobie Janusz Tracz szczególnie

Chciałbym jeszcze zapytać, czy to aby skorzystać tutaj z tego lematu pomocniczego i pomysł, aby wektory były te a nie inne przyszedł Ci sam do głowy, czy jest jakiś schemat w rozwiązywaniu takiego typu zadań?
Podziwiam Twoją wiedzę i umiejętności matematyczne. Zastanawiam się, czy jesteś po jakichś studiach?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3515
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Janusz Tracz » 23 sie 2017, o 16:20

Chciałbym jeszcze zapytać, czy to aby skorzystać tutaj z tego lematu pomocniczego i pomysł, aby wektory były te a nie inne przyszedł Ci sam do głowy, czy jest jakiś schemat w rozwiązywaniu takiego typu zadań?

Nie ma ogólnego schematu (wręcz algorytmu) rozwiązywania zadań (szczególnie konkursowych) ale nie znaczy to że nie ma pewnych wskazówek czego w zadaniu użyć. Bosa_Nike, zauważyła że w zadaniu można zastosować nierówność Cauchy'ego-Schwarza a ja dość cwanie użyłem tej nierówności tutaj tylko że nie nazwałem jej po imieniu i odwołałem jest do wektorów które są w liceum. Nie wpadłem na te wektory pod wpływem olśnienia a raczej dopasowałem je tak żeby pasowało choć nie ukrywam że osoba znająca nierówność Cauchy'ego-Schwarza ma dużą przewagę w takim "zgadywaniu". Dlatego polecam zobaczyć

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%E2%80%99ego-Schwarza
:)
Podziwiam Twoją wiedzę i umiejętności matematyczne. Zastanawiam się, czy jesteś po jakichś studiach?
To tylko złudzenie (niestety...). Wiem jak to działa i wiem jak mało umiem, myślisz że ktoś jest dobry z matematyki bo zrobił zadanie którego nie umiało zrobić się osobiście. Ale takie patrzenie na to jest dość mylące i nie jest wyznacznikiem bycia dobrym z matematyki. Oczywiście dziękuje za miłe sława. A po studiach nie jestem.

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Re: XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Zahion » 23 sie 2017, o 22:42

Julian1998,
równość początkowa - wystarczy wymnożyć. Co do nierówności - otóż skorzystałem z tego, że \(\displaystyle{ xy \le \left( \frac{x+y}{2}\right)^{2}}\), kładąc kolejno \(\displaystyle{ x = c - 2017, y = d - 2016}\), a to o tyle prosta nierówność, że zwija się praktycznie automatycznie do \(\displaystyle{ \left( x - y \right)^{2} \ge 0}\).

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Re: XXXII Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: Julian1998 » 23 sie 2017, o 22:47

Janusz Tracz pisze:
To tylko złudzenie (niestety...). Wiem jak to działa i wiem jak mało umiem, myślisz że ktoś jest dobry z matematyki bo zrobił zadanie którego nie umiało zrobić się osobiście. Ale takie patrzenie na to jest dość mylące i nie jest wyznacznikiem bycia dobrym z matematyki. Oczywiście dziękuje za miłe sława. A po studiach nie jestem.
Widziałem, na Twoim profilu, że pomogłeś wielu osobom w całkach, w liczbach urojonych i innych tematach, które wykraczają poza kształcenie średnie dzisiaj.
Dlatego się zastanawiam skąd masz tę wiedzę? Bo też masz na profilu ustawione 20 lat i w ogóle.

michalll123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 paź 2020, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 1 raz

Re: XXXV Konkurs im. prof. Jana Marszała (etap powiatowy)

Post autor: michalll123 » 24 paź 2020, o 09:34

Czy ma ktoś może zadania z finału dla klas 3?

ODPOWIEDZ