Finał Supermatematyk 2017

[albanczyk123456]

Zadania otwarte klasa 1
1) Noworodek płetwala błękitnego mierzy ok. \(\displaystyle{ 8}\) metrów i waży \(\displaystyle{ 3}\) tony. Matka karmi młode przez \(\displaystyle{ 7}\) miesięcy i wówczas osiąga ono \(\displaystyle{ 18}\) metrów długości i \(\displaystyle{ 23}\) tony wagi. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) oznacza wiek wieloryba (w miesiącach), a \(\displaystyle{ L}\) długość (w metrach), wyraź \(\displaystyle{ L}\) jako liniową funkcję \(\displaystyle{ t}\). Jaki jest dzienny przyrost długości? Wyraź wagę \(\displaystyle{ W}\) jako liniową funkcję czasu \(\displaystyle{ t}\). Jaki jest dzienny przyrost wagi? Wyraź \(\displaystyle{ W}\) jako liniową funkcję \(\displaystyle{ L}\).

2) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ a}\) co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ A= a \cdot a \cdot a -a, B= a \cdot a \cdot a+a}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\). Kiedy obie liczby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są jednocześnie podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\)?

3) Na przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ AB}\)C wybrano takie punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ AD=AC}\), i \(\displaystyle{ BE=BC}\). Wykaż, że długość odcinka \(\displaystyle{ DE}\) jest równa długości średnicy okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\).

4) Właściciel sklepu zakupił pewną liczbę sztuk zajęcy i pewną liczbę par królików. Liczba par królików była równa połowie liczby zajęcy. Za każdego zająca właściciel sklepu płacił po \(\displaystyle{ 2}\) euro, a za każdego królika po \(\displaystyle{ 1}\) euro. Cena detaliczna, którą brał była o \(\displaystyle{ 10\%}\) wyższa za każde zwierzę. Gdy prawie wszystkie zwierzęta - z wyjątkiem \(\displaystyle{ 7}\) - były sprzedane, właściciel sklepu stwierdził, że wyłożona na nich kupno kwota zwróciła się. Jego czysty zysk stanowi więc wartość sprzedażną owych siedmiu pozostałych zwierząt. Ile wynosi czysty zysk właściciela sklepu?

[Premislav]

23 tony masy, waga to przyrząd do mierzenia masy, trololo.
2) \(\displaystyle{ a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+a=a(a^2+1)}\)
Rozważ różne reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\)
W skrócie: jeżeli ta reszta wynosi \(\displaystyle{ 0,1}\) albo \(\displaystyle{ 4}\), to pierwsze wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), zaś jeśli nie, to to drugie wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).

[Zahion]

2) inaczej : Zauważmy, że obie z liczb są parzyste ( np. \(\displaystyle{ a^{3} - a = a\left( a^{2} - 1\right) = a\left( a-1\right)^{2} - 2a^{2}}\) ). Nadto widzimy, że \(\displaystyle{ AB = a \left( a^{5} - a \right)}\), skąd \(\displaystyle{ 5 | a^{5} - a}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ 5 | AB}\). Jako, że \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ 5 | A}\) lub \(\displaystyle{ 5 | B}\), co z powyższą parzystością daje rozwiązanie.