Zadania otwarte klasa 1
1) Noworodek płetwala błękitnego mierzy ok. \(\displaystyle{ 8}\) metrów i waży \(\displaystyle{ 3}\) tony. Matka karmi młode przez \(\displaystyle{ 7}\) miesięcy i wówczas osiąga ono \(\displaystyle{ 18}\) metrów długości i \(\displaystyle{ 23}\) tony wagi. Jeśli \(\displaystyle{ t}\) oznacza wiek wieloryba (w miesiącach), a \(\displaystyle{ L}\) długość (w metrach), wyraź \(\displaystyle{ L}\) jako liniową funkcję \(\displaystyle{ t}\). Jaki jest dzienny przyrost długości? Wyraź wagę \(\displaystyle{ W}\) jako liniową funkcję czasu \(\displaystyle{ t}\). Jaki jest dzienny przyrost wagi? Wyraź \(\displaystyle{ W}\) jako liniową funkcję \(\displaystyle{ L}\).
2) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ a}\) co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ A= a \cdot a \cdot a -a, B= a \cdot a \cdot a+a}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\). Kiedy obie liczby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są jednocześnie podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\)?
3) Na przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ AB}\)C wybrano takie punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ AD=AC}\), i \(\displaystyle{ BE=BC}\). Wykaż, że długość odcinka \(\displaystyle{ DE}\) jest równa długości średnicy okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\).
4) Właściciel sklepu zakupił pewną liczbę sztuk zajęcy i pewną liczbę par królików. Liczba par królików była równa połowie liczby zajęcy. Za każdego zająca właściciel sklepu płacił po \(\displaystyle{ 2}\) euro, a za każdego królika po \(\displaystyle{ 1}\) euro. Cena detaliczna, którą brał była o \(\displaystyle{ 10\%}\) wyższa za każde zwierzę. Gdy prawie wszystkie zwierzęta - z wyjątkiem \(\displaystyle{ 7}\) - były sprzedane, właściciel sklepu stwierdził, że wyłożona na nich kupno kwota zwróciła się. Jego czysty zysk stanowi więc wartość sprzedażną owych siedmiu pozostałych zwierząt. Ile wynosi czysty zysk właściciela sklepu?
Finał Supermatematyk 2017
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdzieś
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 11 razy
Finał Supermatematyk 2017
Ostatnio zmieniony 30 maja 2017, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Finał Supermatematyk 2017
23 tony masy, waga to przyrząd do mierzenia masy, trololo.
2) \(\displaystyle{ a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+a=a(a^2+1)}\)
Rozważ różne reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\)
W skrócie: jeżeli ta reszta wynosi \(\displaystyle{ 0,1}\) albo \(\displaystyle{ 4}\), to pierwsze wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), zaś jeśli nie, to to drugie wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).
2) \(\displaystyle{ a^3-a=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+a=a(a^2+1)}\)
Rozważ różne reszty z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\)
W skrócie: jeżeli ta reszta wynosi \(\displaystyle{ 0,1}\) albo \(\displaystyle{ 4}\), to pierwsze wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), zaś jeśli nie, to to drugie wyrażenie dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\).
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Re: Finał Supermatematyk 2017
2) inaczej : Zauważmy, że obie z liczb są parzyste ( np. \(\displaystyle{ a^{3} - a = a\left( a^{2} - 1\right) = a\left( a-1\right)^{2} - 2a^{2}}\) ). Nadto widzimy, że \(\displaystyle{ AB = a \left( a^{5} - a \right)}\), skąd \(\displaystyle{ 5 | a^{5} - a}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ 5 | AB}\). Jako, że \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ 5 | A}\) lub \(\displaystyle{ 5 | B}\), co z powyższą parzystością daje rozwiązanie.