Zadania z Lei

[SPF1997]

Witam.
Przygotuję się do III etapu tegorocznego podkarpackiego konkursu matematycznego i mam problem z kilkoma zadaniami. Proszę o pomoc, za którą z góry dziękuję.

1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatkich a,b,c,d zachodzi
\(\displaystyle{ a ^{6} + b ^{3} + c^{2} + d \ge 2 * \sqrt[3]{2} * \sqrt[4]{3} * \sqrt[2]{abcd}}\)

2. Liczby rzeczywiste a,b,c są różne od zera i spełniają warunki:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=k}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=l}\)
Wyznaczyć za pomocą k i l, sumę \(\displaystyle{ \frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}}}\).

3. Tu chodzi mi o wskazówkę:
jak znajdujemy największą/najmniejsza wartość ułamka gdy zarówno licznik jak i mianownik jest wyrażeniem algebraicznym?
jak wyznaczamy wszystkie punkty kratowe należące do wykresu jakiejś funkcji?

4. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c,d dodatnich, zachodzi:
\(\displaystyle{ 2^{\frac{34}{15}} * (a+b+c+d) \ge 15* a^{\frac{1}{15}}*b^{\frac{2}{15}}*c^{\frac{4}{15}}*d^{\frac{8}{15}}}\)

[Kartezjusz]

2. \(\displaystyle{ u= \frac{a}{b}}\) , \(\displaystyle{ v= \frac{b}{c}}\), \(\displaystyle{ z= \frac{c}{a}}\) zapisz zadanie poprzez te liczby i zauważyć, że \(\displaystyle{ uvz=1}\)
3. To zależy od zadania. jedna grupa idzie teorią liczb, druga, szufladami Dirichleta...