Śląski konkurs matematyczny 2014
- Espeqer
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 28 lis 2013, o 20:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-a
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 4 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
W trzecim zadaniu też wam nie wychodziło ze zwykłym rozpisaniem? Ciekawe dlaczego dopiero przy założeniu, że \(\displaystyle{ p=2n+1, n \in N\ i\ q=2k+1, k \in N}\) znalazłem tę parę. Pewnie coś źle rozpisałem, chociaż nie sądzę.
- ben2109
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Mi wyszło z rozpisania, może zapomniałeś, że nawiasy mogą być równe np. \(\displaystyle{ 3q}\) i \(\displaystyle{ 4q}\) w \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=12q^{2}}\) .
- ben2109
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Zrobiłem zadanie 2 oraz 3, w reszcie coś napisałem byle urwać jakieś punkciki. Sądzę, że były dużo łatwiejsze niż rok temu. Jeśli chodzi o resztę zadań to wystarczająco trudniejsze. Kombinowałem w piątym jakoś okręgi zastosować, ale nie wyszło.
- Espeqer
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 28 lis 2013, o 20:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-a
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 4 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Dzięki za rozwiązanie. Nie mogłem tego zadania ugryźć Nie dało się tego inaczej rozwiązać, niż z MTF? Bo do postaci ciągu geometrycznego to doszedłem, dalej próbowałem z resztami z dzielenia dla kolejnych n przez 2013, bo myślałem, że będą dążyły do 0. Ale nic z tego. Zabrakło mi tego, jak wykazać, dla jakich n ciąg 20142014...2014 dzieli się przez 61.
@ben, dla pięćdziesięciokąta foremnego to wychodziło. Ale sam na to wpadłem dopiero w domu Drugie też było w miare proste, tylko na tyle je skomplikowałem, że w efekcie je nie zrobiłem. Wystarczyło za y przyjąć 0. Ehh.
Co do czwartego to może ten rysunek Wam coś podpowie
Jak będzie 10 punktów, to będę zadowolony, bo przekombinowałem 3 zadania.
@ben, dla pięćdziesięciokąta foremnego to wychodziło. Ale sam na to wpadłem dopiero w domu Drugie też było w miare proste, tylko na tyle je skomplikowałem, że w efekcie je nie zrobiłem. Wystarczyło za y przyjąć 0. Ehh.
Co do czwartego to może ten rysunek Wam coś podpowie
Jak będzie 10 punktów, to będę zadowolony, bo przekombinowałem 3 zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 25 cze 2012, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 27 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Rozwiązanie zadania pierwszego w ogóle nie wymaga MTF.
Wystarczy mianowicie rozważyć dowolny ciąg 2013-wyrazowy liczb tej postaci. I teraz,albo któryś jego wyraz dzieli się przez 2013 i " po zadaniu" ,albo żaden i wtedy któreś dwa z nich muszą dać tę samą niezerową resztę z dzielenia przez 2013.
Stąd zaś wynika,że ich różnica, równa iloczynowi liczby tej postaci i pewnej potęgi 10(która jest względnie pierwsza z 2013)jest podzielna przez 2013. Stąd teza.
W zadaniu trzecim,najpierw zauważamy,że p musi być nieparzyste,podstawiamy więc 2k+1 za p i po łatwych rachunkach wychodzi,że q jest parzyste,a więc 2,co z kolei po podstawienu prowadzi do p=7.
Wystarczy mianowicie rozważyć dowolny ciąg 2013-wyrazowy liczb tej postaci. I teraz,albo któryś jego wyraz dzieli się przez 2013 i " po zadaniu" ,albo żaden i wtedy któreś dwa z nich muszą dać tę samą niezerową resztę z dzielenia przez 2013.
Stąd zaś wynika,że ich różnica, równa iloczynowi liczby tej postaci i pewnej potęgi 10(która jest względnie pierwsza z 2013)jest podzielna przez 2013. Stąd teza.
W zadaniu trzecim,najpierw zauważamy,że p musi być nieparzyste,podstawiamy więc 2k+1 za p i po łatwych rachunkach wychodzi,że q jest parzyste,a więc 2,co z kolei po podstawienu prowadzi do p=7.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Według mnie 1 było w miarę proste, 2 natychmiastowe, 3 też proste (zrobiłem je trochę okrężną drogą, ale wyszło), 4 dopiero teraz mam rozwiązanie, 5 ładne, podoba mi się.
Jedyne co się obawiam, to że mogłem czegoś nie dopowiedzieć lub zrobić literówkę w równaniu. W szczególności w 1, gdzie pół minuty przed końcem zauważyłem, że nie dokończyłem pisać rozwiązania .
Jedyne co się obawiam, to że mogłem czegoś nie dopowiedzieć lub zrobić literówkę w równaniu. W szczególności w 1, gdzie pół minuty przed końcem zauważyłem, że nie dokończyłem pisać rozwiązania .
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Jestem prawie przekonany, że zadanie 4. pochodzi z różowej książki Pana Henryka i jest gdzieś na jej pierwszych stronach
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Nie, tego zadania tam nie ma, 1.1 i 1.12 jest podobne, więc mogłeś z nim pomylić. To 4. to zwykła pała kątów wg mnie, więc chyba trochę za prosta jak na różowy zbiorek
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Jak zrobić 5.? Mam pomysł na rozwiązanie z wykorzystaniem takiej własności:
Jeśli na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe, to można wybrać z nich 2 punkty takie, że wszystkie pozostałe będą leżeć w jednej półpłaszczyźnie, której brzegiem jest prosta zawierająca te 2 punkty.
Nie wiem jednak, jak tę własność udowodnić. Pomoże ktoś?
Jeśli na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe, to można wybrać z nich 2 punkty takie, że wszystkie pozostałe będą leżeć w jednej półpłaszczyźnie, której brzegiem jest prosta zawierająca te 2 punkty.
Nie wiem jednak, jak tę własność udowodnić. Pomoże ktoś?
-
- Użytkownik
- Posty: 2283
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Prawdą według mnie jest takie coś:
Jeśli na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe, to można z nich wybrać \(\displaystyle{ k}\) punktów, które są wierzchołkami wielokąta wypukłego, a wszystkie pozostałe punkty leżą wewnątrz tego wielokąta.
Z tego by wynikała ta własność z poprzedniego posta i wydaje mi się, że można to udowodnić indukcyjnie, choć może to być karkołomne zadanie.
A poza tym to mógłbyś rozwinąć tę myśl z układem współrzędnych? Żaden pomysł mi się nie nasuwa.
Jeśli na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe, to można z nich wybrać \(\displaystyle{ k}\) punktów, które są wierzchołkami wielokąta wypukłego, a wszystkie pozostałe punkty leżą wewnątrz tego wielokąta.
Z tego by wynikała ta własność z poprzedniego posta i wydaje mi się, że można to udowodnić indukcyjnie, choć może to być karkołomne zadanie.
A poza tym to mógłbyś rozwinąć tę myśl z układem współrzędnych? Żaden pomysł mi się nie nasuwa.
-
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
Śląski konkurs matematyczny 2014
Jak już masz ten układ współrzędnych i w nim punkty, to spróbuj "jawnie" wskazać parę punktów, która wyznacza szukaną prostą.
Sorry, zapomniałem, że tu pisałem.
Sorry, zapomniałem, że tu pisałem.