Zawody Matemat. im M Rejewskiego
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
Otóz tegoz roku miała miejsce edycja zawodów matemat. ale ta od ubiegłego maja one juz swoja oficjalna nazwe, zadania były dwu stopniowe patrz nizej. z podzialem tj. na klasy, a szczególowe omowienie konkursu mozna obejrzec w najnowszym numerze takze szkice rozwiazan oraz tez na stronie Lo gdzie sie one odbyly , linki ponizej, zadanka sie mi bardzo spodobały jak zwykle sa oryginalne i całkiem ciekawe i mysle ze warte sa zaatakowania dla osob trenujacych przed OM czy innymi zmaganiami tego typu.nie wspominajac o userach z forum. Jesli ewnetualnie ktos brał w nich juz udział, no to moze on podzielic sie tutaj swymi wrazeniami...etc,
links
spol. szkolna...konkursy
Klasa I
1. Średnia kontharmoniczna, Średnią kontrharmoniczną liczb dodatnich x, y nazywamy liczbę \(\displaystyle{ C=\frac{x^2+y^2}{x+y}}\). wykazać,
ze \(\displaystyle{ A^2 \geq HC}\), gdzie A oznacza średnią arytmetyczna, zaś H srednią harmoniczną liczb x i y.
2. Dzisiejsze równanie Czy istnieją liczby calkowite nieujemne n takie, że: \(\displaystyle{ 2^{2n} +6^{2n} =2006^{n+1}}\)? Odpowiedz uzasadnic
3. Nierówność dla kotangensów: Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) oznaczają miary kątów wewnętrznych trójkata o polu S i obwodzie 2p, to
\(\displaystyle{ ctg(\frac{\alpha}{2}) ctg(\frac{\beta}{2}) ctg(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{p^6}{27S^3}}\)
4. Pole figury Wyznaczyć pole figury płaskiej F, wiedząc, zę:
\(\displaystyle{ F= \{ (x,y) : x sin(y) \leq 0, i \ |x| \leq 1 \ i \ |y| \leq 1003\pi \ i \ x,y \in R \}}\)
Klasa II
1. Równość Wyznaczyc wszystkie liczby całkowite dodatnie n, t ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) t. ze \(\displaystyle{ x_1....x_n=1}\),
zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3} +....+\frac{1}{1+x_{n-1}+x_{n-1}x_n}+ \frac{1}{1+x_n+x_nx_1}=1}\)
2. Ostatnia cyfra Dowieść, ze żadna z cyfr 2, 4, 7, 9 nie moze byc ostatnia cyfra liczby
1+3+5+....+(2n+1) - 1 - 2-3 -....-n
gdzie n jest liczba całkowita dodatnia.
3. Nierówność Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, takich ze a+b+c=1, spełniona jest nierównosc:
\(\displaystyle{ \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+\frac{c(a+1)}{a+b} \geq 2}\)
4. Czworokąt i okrąg Dany jest czworokąt wypukły ABCD o prostopadlych przekatnych AC i BD, przecinajcych sie w O.Niech punkty K, L, M, N beda rzutami prostokatnymi punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, AD. Wykazać, ze na czworokacie KLMN mozna opisać okrąg. Uzasadnic, na odpowednim przykladzie, ze załozenie o prostopadłosci przekatnych jest istotne i nie mozna go pominac.
links
spol. szkolna...konkursy
Klasa I
1. Średnia kontharmoniczna, Średnią kontrharmoniczną liczb dodatnich x, y nazywamy liczbę \(\displaystyle{ C=\frac{x^2+y^2}{x+y}}\). wykazać,
ze \(\displaystyle{ A^2 \geq HC}\), gdzie A oznacza średnią arytmetyczna, zaś H srednią harmoniczną liczb x i y.
2. Dzisiejsze równanie Czy istnieją liczby calkowite nieujemne n takie, że: \(\displaystyle{ 2^{2n} +6^{2n} =2006^{n+1}}\)? Odpowiedz uzasadnic
3. Nierówność dla kotangensów: Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) oznaczają miary kątów wewnętrznych trójkata o polu S i obwodzie 2p, to
\(\displaystyle{ ctg(\frac{\alpha}{2}) ctg(\frac{\beta}{2}) ctg(\frac{\gamma}{2}) \leq \frac{p^6}{27S^3}}\)
4. Pole figury Wyznaczyć pole figury płaskiej F, wiedząc, zę:
\(\displaystyle{ F= \{ (x,y) : x sin(y) \leq 0, i \ |x| \leq 1 \ i \ |y| \leq 1003\pi \ i \ x,y \in R \}}\)
Klasa II
1. Równość Wyznaczyc wszystkie liczby całkowite dodatnie n, t ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) t. ze \(\displaystyle{ x_1....x_n=1}\),
zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\frac{1}{1+x_2+x_2x_3} +....+\frac{1}{1+x_{n-1}+x_{n-1}x_n}+ \frac{1}{1+x_n+x_nx_1}=1}\)
2. Ostatnia cyfra Dowieść, ze żadna z cyfr 2, 4, 7, 9 nie moze byc ostatnia cyfra liczby
1+3+5+....+(2n+1) - 1 - 2-3 -....-n
gdzie n jest liczba całkowita dodatnia.
3. Nierówność Udowodnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, takich ze a+b+c=1, spełniona jest nierównosc:
\(\displaystyle{ \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+\frac{c(a+1)}{a+b} \geq 2}\)
4. Czworokąt i okrąg Dany jest czworokąt wypukły ABCD o prostopadlych przekatnych AC i BD, przecinajcych sie w O.Niech punkty K, L, M, N beda rzutami prostokatnymi punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, AD. Wykazać, ze na czworokacie KLMN mozna opisać okrąg. Uzasadnic, na odpowednim przykladzie, ze załozenie o prostopadłosci przekatnych jest istotne i nie mozna go pominac.
Ostatnio zmieniony 18 lis 2009, o 15:47 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
1. Układ równań . Wykazać, że układ
\(\displaystyle{ x^2 +yz+ a =1}\)
\(\displaystyle{ y^2 +zx +6a=6}\)
\(\displaystyle{ z^2+xy+2007a=2007}\)
z niewiadomymi \(\displaystyle{ x, y, z}\), nie ma rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ a>1}\).
2. Odległosci od stycznej. Do okręgu o średnicy AB długości \(\displaystyle{ 2r}\) poprowadzono styczną w punkcie P. Wiedząc, że \(\displaystyle{ |AP|=k \ k>0}\), oblicz odległości punktów A, B od tej prostej stycznej.
3. Podłoga i sufit Dowieść, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b >0}\) takich, że \(\displaystyle{ \lceil a \rceil + \lceil b \rceil >2}\) spełnione są równości:
\(\displaystyle{ \lceil \frac{ \rceil a \lceil + \rceil b \lceil}{\lceil a \rceil + \lceil b \rceil} \rceil = \rceil \frac{ \lceil a \rceil + \lceil b \rceil}{\rceil a \lceil + \rceil b \lceil} \lceil =1}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ \lceil x \rceil}\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niz \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ \rceil x \lceil}\) oznacza najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą niż \(\displaystyle{ x}\)
4. Czworokąty w czworokącie, Prosta przechodząca przez środek przekątnej AC czworokąta wypukłego ABCD jest równoległa do prostej BD i przecina w punkcie M prostą przechodzącą przez środek odcinka BD i równoległą do AC. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ S_{ABCM}= S_{BCDM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}}\)
1. Trzy dwusieczne. Przez wierzchołek C trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono trzy proste przecinające bok AB w punktach K, L, M, dzielące kąt ACB na cztery równe części. Obliczyć długości odcinków CK, CL i CM, wiedząc, że \(\displaystyle{ |AB|=16 , \ |AC|=|BC|=10}\)
2. Układ równań Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ 10x^2+ 4yz+ 2x=-1}\)
\(\displaystyle{ 5y^2 +6zx -2y=-1}\)
\(\displaystyle{ 2z^2+12xy-2z=-1}\)
3. Kwadraty liczb, Niech \(\displaystyle{ A= P \cup \{1\}}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3 A}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
4. Dwa okręgi i trzy proste Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący na zewnątrz danego okręgu poprowadzono trzy proste: prostą styczną do tego okręgu w punkcie K, prostą sieczną przecinającą ten okrąg w punktach A i B oraz prostą przechodzącą przez punkty C i D leżące po tej samej stronie punktu P. Wiedząc, że kąty \(\displaystyle{ PKC}\) i \(\displaystyle{ PDK}\) są równe udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leża na jednym okręgu.
\(\displaystyle{ x^2 +yz+ a =1}\)
\(\displaystyle{ y^2 +zx +6a=6}\)
\(\displaystyle{ z^2+xy+2007a=2007}\)
z niewiadomymi \(\displaystyle{ x, y, z}\), nie ma rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ a>1}\).
2. Odległosci od stycznej. Do okręgu o średnicy AB długości \(\displaystyle{ 2r}\) poprowadzono styczną w punkcie P. Wiedząc, że \(\displaystyle{ |AP|=k \ k>0}\), oblicz odległości punktów A, B od tej prostej stycznej.
3. Podłoga i sufit Dowieść, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b >0}\) takich, że \(\displaystyle{ \lceil a \rceil + \lceil b \rceil >2}\) spełnione są równości:
\(\displaystyle{ \lceil \frac{ \rceil a \lceil + \rceil b \lceil}{\lceil a \rceil + \lceil b \rceil} \rceil = \rceil \frac{ \lceil a \rceil + \lceil b \rceil}{\rceil a \lceil + \rceil b \lceil} \lceil =1}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ \lceil x \rceil}\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niz \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ \rceil x \lceil}\) oznacza najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą niż \(\displaystyle{ x}\)
4. Czworokąty w czworokącie, Prosta przechodząca przez środek przekątnej AC czworokąta wypukłego ABCD jest równoległa do prostej BD i przecina w punkcie M prostą przechodzącą przez środek odcinka BD i równoległą do AC. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ S_{ABCM}= S_{BCDM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}}\)
1. Trzy dwusieczne. Przez wierzchołek C trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono trzy proste przecinające bok AB w punktach K, L, M, dzielące kąt ACB na cztery równe części. Obliczyć długości odcinków CK, CL i CM, wiedząc, że \(\displaystyle{ |AB|=16 , \ |AC|=|BC|=10}\)
2. Układ równań Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ 10x^2+ 4yz+ 2x=-1}\)
\(\displaystyle{ 5y^2 +6zx -2y=-1}\)
\(\displaystyle{ 2z^2+12xy-2z=-1}\)
3. Kwadraty liczb, Niech \(\displaystyle{ A= P \cup \{1\}}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3 A}\) takie, że liczba \(\displaystyle{ a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
4. Dwa okręgi i trzy proste Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący na zewnątrz danego okręgu poprowadzono trzy proste: prostą styczną do tego okręgu w punkcie K, prostą sieczną przecinającą ten okrąg w punktach A i B oraz prostą przechodzącą przez punkty C i D leżące po tej samej stronie punktu P. Wiedząc, że kąty \(\displaystyle{ PKC}\) i \(\displaystyle{ PDK}\) są równe udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leża na jednym okręgu.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: stąd
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
hejka. Jakby ktoś kiedyś jeszcze tu sie pojawił to chętnie pogadam na temat tego konkursu... Może ma ktoś zadania z finałów z poprzednich lat(tym bardziej odpowiedzi:)) to niech śle...bo jestem ciekawa
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
Hej! Ja mam jakies zadania z poprzednich lat dla klas I i II. Moge ci dac na konkursie w poniedziałek chyba ze jestes z Torunia?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: stąd
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
nie jestem z Torunia. W poniedziałek to mnie już zbytnio nie urządza chciałam je zobaczyć przed... interesowałyby mnie zadania dla klas I... Rozumiem że nie możesz zamieścić tu zad. np. z poprzedniego roku?
- taka_jedna
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 23 sie 2006, o 14:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Aj em from Poland
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 23 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: stąd
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
Hej Szablewskil, ale weż ze sobą na konkurs te zadania z finałów jak masz i jeśli możesz tylko jak ja Cie znajdę...?
Dobra ryzyk- fizyk pisze nr telefonu: 660201275, jak będzie któś chciał mi zaoferować zadania to pisać sms-y...
To pa i powodzenia...
Dobra ryzyk- fizyk pisze nr telefonu: 660201275, jak będzie któś chciał mi zaoferować zadania to pisać sms-y...
To pa i powodzenia...
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
... _.rar.html
tu masz troche zadan, duzo wiecej na kartkach nie mam :/
tu masz troche zadan, duzo wiecej na kartkach nie mam :/
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
cześć wszytkim widzę, że sama elita kujawsko-pomorskiego...
do jakich szkół chodzicie??
mnie nie będzie na finale...:/ no ale cóż, chyba lepiej jest pojechać na wycieczkę z kangura niż na jakiś konkurs Rejewskiego...
Startujecie może w Banachu??
do jakich szkół chodzicie??
mnie nie będzie na finale...:/ no ale cóż, chyba lepiej jest pojechać na wycieczkę z kangura niż na jakiś konkurs Rejewskiego...
Startujecie może w Banachu??
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 3 cze 2008, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: stąd
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
Heja, dzięki Łukasz za zadanka chociaż nie moge się do nich dostać (w jakim programie to sie otwiera?)
Michałowi gratulacje... Zawsze jeden przeciwnik mniej
[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 19:50 ]
ups te zadania już miałam...
Michałowi gratulacje... Zawsze jeden przeciwnik mniej
[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 19:50 ]
ups te zadania już miałam...
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
kurde, ja mam pełno zadań z rejewskiego i z banacha, ale nie mam skanera...
asiu, mniej więcej o 9-9:30 będę miał trochę czasu to poprzepisuję zadania
ale nadal nie wiem, do jakiej szkoły chodzicie...
asiu, mniej więcej o 9-9:30 będę miał trochę czasu to poprzepisuję zadania
ale nadal nie wiem, do jakiej szkoły chodzicie...
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
ciekawskaaska podaj maila mi na pw
[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 20:36 ]
frej ja chodzę do Torunia i nawet matematykę mam z jednym z nauczycieli co ty chyba
[ Dodano: 7 Czerwca 2008, 20:36 ]
frej ja chodzę do Torunia i nawet matematykę mam z jednym z nauczycieli co ty chyba
Zawody Matemat. im M Rejewskiego
okazało się, że mam tylko etapy szkolne... więc chyba nie pomogę za bardzo w przygotowaniach do finalu...
szablewskil, chodzisz pewnie do IV ,tak?
jak to jest, klasa d jest p.Pawlowskiego zas e p. Bobinskiego, czy odwrotnie?
szablewskil, chodzisz pewnie do IV ,tak?
jak to jest, klasa d jest p.Pawlowskiego zas e p. Bobinskiego, czy odwrotnie?
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy