Zawody Matemat. im M Rejewskiego

[frej]

pan Bobiński... jakimi jesteśmy szczęściarzami, że go spotkaliśmy... pewnie uczy Cię też Pani Kobus?? jak OM ci poszedł, bo widzę, że jesteś już w 2 klasie... czy to prawda, że Pawłowski jest dobry, jeśli jesteś dobry, a jak jesteś trochę słabszy to się tobą niezbyt zajmuje??

ja oczywiście jak wiesz chodzę do Akademickiego do 3 gim

[szablewskil]

Moglby ktos napisac jakie byly progi punktowe na poszczegolne miejsca?
Mi poszlo fatalnie

[ciekawskaaska]

O chwile mnie nie było a tu sie rozgadali...
Nie no gorzej niż mi to ci nie poszło... Jestem załamana...i wkurzona bo jedno zadanie miałam dobrze zrobione zostawione w brudnopisie...
Ale cóż spróbuje sie za rok..

[ Dodano: 11 Czerwca 2008, 20:12 ]
Łukasz, jak widzisz na :jedynka.u2.pl/ zabrakło ci 3 pkt. do III miejsca...

[szablewskil]

dalem plame na calej lini czasami tak bywa, kumpel z klasy wygral

[nowa90]

A z kolei mi się udało w tym roku. W zeszłym napisałam fatalnie, a w tym roku miałam pierwsze miejsce :-D Wydaje mi się, że sporo osób kojarzę z tego forum z konkursów :-D

[mol_ksiazkowy]

Klasa I
1. Nierównosc. Udowodnić, ze \(\displaystyle{ 2007 < \sqrt[8]{\frac{2008^{8}2007^{0}+ 2008^{7}2007^{1}+...+2008^{0}2007^{8}}{9}} <2008.}\)
2. Pole trójkata. W trójkacie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) długosc boku \(\displaystyle{ AB}\) jest równa \(\displaystyle{ 10}\), zas długość środkowej \(\displaystyle{ AK}\) wynosi \(\displaystyle{ 9}\), a wysokosc \(\displaystyle{ BL}\) równa sie \(\displaystyle{ 8}\). Oblicz pole trójkata \(\displaystyle{ ABC}\).
3. Pieciokat i okrag. W pieciokąt \(\displaystyle{ ABCDE}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|=|BC|}\) i \(\displaystyle{ |CD|=|DE|}\), wpisano okrag o śrdoku \(\displaystyle{ O}\). Wykazac, ze punkt \(\displaystyle{ O}\) jest srodkiem okrego opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ ACE}\).
4. Równanie. Rozwiaz
\(\displaystyle{ \frac{\min(8, [x])}{\max(8, x)}=x.}\)

Klasa II
1. Nierówność Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{8(x^3+x^2+1)}}\) Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \left\langle0, \frac{1}{3}\right) }\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| \leq \frac{1}{8} |x-y|}\).
2. Rozwiaz uklad równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \{x\}+ [y]=\frac{1}{8} \\ [x]+ \{y\}= -\frac{1}{8}. \end{cases} }\)
3. Wyraz ciagu. Ciag \(\displaystyle{ a_n}\) określony jest nastepujaco:
\(\displaystyle{ a_1=8}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}-a_n}{n+1}=8^{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\).
Obliczyc \(\displaystyle{ a_{2008}.}\)
4. Okregi i czworokąt. Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono dwie proste przecinające się w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A, C}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\). Udowodnić ze na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) mozna opisac okrag wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |AP|= |BP|}\) i \(\displaystyle{ |CP|=|DP|}\).

[mol_ksiazkowy]

Zadania z br (2009) Klasa 1
1. Wykazać, ze liczba \(\displaystyle{ 2009^{2010} -2*2009^{2009}+2009^{2008}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2008}\)
2. Ile jest funkcji liniowych \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\), takich ze \(\displaystyle{ f(b)=2009a}\), gdzie a, b sa liczbami całkowitymi ?
3. Udowodnić, ze dwucieczną kąta \(\displaystyle{ ACB}\) trójkata ABC jest też dwusieczną kąta \(\displaystyle{ OCC^{\prime}}\), gdzie O jest środkiem
okręgu opisanego na trójkącie ABC, a \(\displaystyle{ CC^{\prime}}\) wysokością tego trójkąta
4. Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym AB i CD sa równoległe i \(\displaystyle{ |AB| >|CD|}\) oraz punkt \(\displaystyle{ E}\) będący
srodkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnić, ze trapez ten jest prostokątny , z kątami prostymi przy wierzchołkach A i D wtedy i tylko wtedy, gdy odcinki \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ DE}\) są równej długosci
5. Na bokach \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) trójkata ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) obrano odpowiednia punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) w taki sposób ze
\(\displaystyle{ \angle BDF= \angle CDE}\)
\(\displaystyle{ \angle CED= \angle AEF}\)
\(\displaystyle{ \angle AFE= \angle BFD}\)
Dowiesc, ze proste zawierajace wysokosci trójkątów \(\displaystyle{ AEF, BFD, CDE}\) poprowadzone odpowiednio z A, B, C przecinaja sie w środku okregu opisanego na trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\)


Klasa 2
1. Ile jest funkcji liniowych \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\), takich , ze \(\displaystyle{ a, b}\) sa liczbami wymiernymi, oraz \(\displaystyle{ f(a)=2009^9 b}\) oraz \(\displaystyle{ f(b)=2009^9 a}\)?
2. Wykazac, że \(\displaystyle{ 2^{2^{2009}} > {2^{2009} \choose 2^{2008}}}\)
3. Czy istnieje liczba naturalna n, dla której liczba \(\displaystyle{ n^4+4n^3+ 7n^2+3}\) jest kwadratem liczby całkowitej ?
4. Obliczyć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2009}}\) w rozwinięciu
\(\displaystyle{ (x^{2009}+x^{2008}+...+x+1 )^3}\)
5. Wyznacz najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ M}\), dla której w dowolnym trójkącie prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ h_ah_bh_c \leq Mabc}\), gdzie \(\displaystyle{ h_a, h_b, h_c}\) oznacaja długosci wysokosci opuszczonych odpowiednio na boki \(\displaystyle{ a, b, c}\).

[jedfra6]

Witam, mam problem z tą nierównością. Próbowałem nawet ciągami jednomonotonicznymi i cały czas mi czegoś brakuje.
Udowodnij, że jeśli a,b,c dodatnie oraz a+b+c=1 to:
\(\displaystyle{ \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+\frac{c(a+1)}{a+b} \geq 2}\)
Czy ma ktoś jakiś pomysł?
Doszedłem do nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{b+c}+ \frac{b ^{2} }{a+c}+ \frac{c ^{2} }{a+b} \ge \frac{ac}{b+c}+ \frac{ba}{a+c} + \frac{cb}{a+b}}\)
i utknąłem... bo ta nierówność wcale nie jest dla mnie taka oczywista.
EDIT: Problem już rozwiązany. Jeśli będzie ktoś zainteresowany to wpisze moje rozwiązanie.

[mol_ksiazkowy]

1. Średnia kontharmoniczna,

Zadanie za 101 Nierozwiazanych

Ukryta treść:    

raczej banalne gdyż \(\displaystyle{ A^2 -HC =\frac{(x-y)^4}{4(x+y)^2}\geq 0}\)