XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 12 maja 2012, o 03:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I
XXIX konkurs Marszała, etap powiatowy, klasa I, czas 120 min. (rok 2013)
Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego T o boku długości "a" jest środkiem koła K o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie T i długości promienia koła wpisanego w trójkąt T. Oblicz pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T.
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}-1=3y^{2}+x}\) w zbiorze liczb całkowitych.
Zadanie 3.
Niech liczby x, y należą do przedziału (-1;1). Udowodnij, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ 1 + y^{2} } \le \frac{2}{ 1 + xy }}\)
Podałem treść wszystkich zadań, ale problem mam tylko z zadaniem 2. Czy ktoś wie jak je rozwiązać ?
W zadaniu 1 otrzymałem pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T = \(\displaystyle{ a^{2} \frac{( \pi - 2)}{8}}\)
Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego T o boku długości "a" jest środkiem koła K o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie T i długości promienia koła wpisanego w trójkąt T. Oblicz pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T.
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}-1=3y^{2}+x}\) w zbiorze liczb całkowitych.
Zadanie 3.
Niech liczby x, y należą do przedziału (-1;1). Udowodnij, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ 1 + y^{2} } \le \frac{2}{ 1 + xy }}\)
Podałem treść wszystkich zadań, ale problem mam tylko z zadaniem 2. Czy ktoś wie jak je rozwiązać ?
W zadaniu 1 otrzymałem pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T = \(\displaystyle{ a^{2} \frac{( \pi - 2)}{8}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I
Zadanie 3, jeśli się nie machnąłem, zawija się do \(\displaystyle{ xy(x-y)^2 \le (x-y)^2}\), co jest oczywiste. Nie wiem, czy da się ładniej.
Ponewor, rzucanie cięższą teorią jest ogólnie denerwujące, ale tutaj jest to zwyczajnie śmieszne (porównując z trudnością zadania).
Ponewor, rzucanie cięższą teorią jest ogólnie denerwujące, ale tutaj jest to zwyczajnie śmieszne (porównując z trudnością zadania).
Ostatnio zmieniony 11 lis 2013, o 18:09 przez Marcinek665, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 7 cze 2013, o 23:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I
Brałem udział w tym konkursie, tylko jestem uczniem klasy 2.Sprawiło mi trudność owe zadanie:
Zadanie 3.
wiedząc że \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\),..., \(\displaystyle{ a_{n}}\) to liczby dodatnie oraz S oznacza ich sumę.Wykaż, że prawdziwa jest nierówność dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\)-- 16 lis 2013, o 17:35 --Bardzo proszę o rozwiązanie lub przynajmniej wskazówki.Z góry dzięki
Zadanie 3.
wiedząc że \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\),..., \(\displaystyle{ a_{n}}\) to liczby dodatnie oraz S oznacza ich sumę.Wykaż, że prawdziwa jest nierówność dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\)-- 16 lis 2013, o 17:35 --Bardzo proszę o rozwiązanie lub przynajmniej wskazówki.Z góry dzięki
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 7 cze 2013, o 23:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I
rozumiem że S mam wyciągnąć przed nawias z lewej strony od \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) ?