XXIX Konkurs Matematyczny Jana Marszała (powiatowy) klasa I

[Za_interesowany]

XXIX konkurs Marszała, etap powiatowy, klasa I, czas 120 min. (rok 2013)

Zadanie 1.
Środek ciężkości trójkąta równobocznego T o boku długości "a" jest środkiem koła K o promieniu równym średniej geometrycznej długości promienia koła opisanego na trójkącie T i długości promienia koła wpisanego w trójkąt T. Oblicz pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T.

Zadanie 2.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{3}-1=3y^{2}+x}\) w zbiorze liczb całkowitych.

Zadanie 3.
Niech liczby x, y należą do przedziału (-1;1). Udowodnij, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ 1 + y^{2} } \le \frac{2}{ 1 + xy }}\)


Podałem treść wszystkich zadań, ale problem mam tylko z zadaniem 2. Czy ktoś wie jak je rozwiązać ?
W zadaniu 1 otrzymałem pole figury K\(\displaystyle{ -}\)T = \(\displaystyle{ a^{2} \frac{( \pi - 2)}{8}}\)

[Ponewor]

2:    

Z małego twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ 3 \mid x^3-x}\) (można też obyć się bez niego). Zatem trójka musi dzielić też liczbę \(\displaystyle{ -1}\), a to nieprawda, więc rozwiązań brak.

[mortan517]

Tak na poziomie pierwszej klasy (zadanie 2):

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^3 - x = 3y^2 + 1 \\ x(x^2-1) = 3y^2 + 1 \\ (x-1)x(x+1) = 3y^2 + 1}\)

W tym momencie zauważasz, że lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) ponieważ są to \(\displaystyle{ 3}\) kolejne liczby całkowite, natomiast prawa strona nie jest podzielna, gdyż jest postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\) a nie \(\displaystyle{ 3k}\).

[Ponewor]

No to po prostu inaczej pokazałeś, że

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 3 \mid x^{3}-x}\)

. Mówiłem, że można prościej.

[Marcinek665]

Zadanie 3, jeśli się nie machnąłem, zawija się do \(\displaystyle{ xy(x-y)^2 \le (x-y)^2}\), co jest oczywiste. Nie wiem, czy da się ładniej.

Ponewor, rzucanie cięższą teorią jest ogólnie denerwujące, ale tutaj jest to zwyczajnie śmieszne (porównując z trudnością zadania).

[mortan517]

Marcinek665, tak właśnie wyszło, ale mała poprawka 3 zadanie, nie 2.

[Marcinek665]

Rzeczywiście, sorry.

[harpun24]

Brałem udział w tym konkursie, tylko jestem uczniem klasy 2.Sprawiło mi trudność owe zadanie:
Zadanie 3.
wiedząc że \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\),..., \(\displaystyle{ a_{n}}\) to liczby dodatnie oraz S oznacza ich sumę.Wykaż, że prawdziwa jest nierówność dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

\(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\)-- 16 lis 2013, o 17:35 --Bardzo proszę o rozwiązanie lub przynajmniej wskazówki.Z góry dzięki

[diana7]

3:    

Przekształcamy równoważnie w sposób następujący:
Do obu stron nierówności dodajemy \(\displaystyle{ n}\), następnie wyłączamy przed nawias \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n}\). Ostatnia nierówność jest prawdziwa, co wynika z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a harmoniczną

[harpun24]

rozumiem że S mam wyciągnąć przed nawias z lewej strony od \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{S- a_{1} }}\) + \(\displaystyle{ \frac{ a_{2} }{S- a_{2} }}\) +...+ \(\displaystyle{ \frac{ a_{n} }{S- a_{n} }}\) ?

[diana7]

Ukryta treść:    

Tak. Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{a_1}{S-a_1}+...+\frac{a_n}{S-a_n}+n=\frac{S}{S-a_1}+\frac{S}{S-a_2}+...+\frac{S}{S-a_n}}\)

[harpun24]

Dzięki :p

[bakala12]

3. alternatywnie:    

Mocno narzucająca się nierówność Jensena

[mortan517]

bakala12, mógłbyś to rozwiązań z Jensena?

[bakala12]

Ukryta treść:    

Jeśli nie walnąłem się w liczeniu drugiej pochodnej to funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{x}{S-x}}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0;S\right)}\). Zatem na mocy nierówności Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) i liczb: \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},... , a_{n}}\) z wagami \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{S-a_{i}}= n \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}f\left( a_{i}\right) \ge n \cdot f\left( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}a_{i}\right)= n \cdot \frac{\frac{S}{n}}{S-\frac{S}{n}} =\frac{n}{n-1}}\)