Śląski konkurs matematyczny-SKM 2013

[ben2109]

Jak poszło? Możecie tutaj zamieszczać swoje rozwiązania z właśnie tego konkursu z etapu rejonowego, a zadania były takie :

1.Danych jest 2013 liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}, l_{3}, ..., l_{2012}, l_{2013}}\), które spełniają warunek

\(\displaystyle{ l_{1}< l_{2}< l_{3}<...< l_{2012}< l_{2013}}\)

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}+ l_{2013}}{2013} > \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}}{2012}}\)


2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^{4}+33}\) jest kwadratem liczby naturalnej .

3. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} xy+yz+z=5\\2yz+x=5\\x+y+z=4 \end{array}}\)

4. Na boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ K}\), że \(\displaystyle{ KB=3 \cdot AK}\), a na boku \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta taki punkt \(\displaystyle{ L}\), że
\(\displaystyle{ CL=3 \cdot BL}\). Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AL}\) i \(\displaystyle{ CK}\). Znajdź stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ BQC}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

5. Dany jest trójkąt o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\). Rozstrzygnij, czy z odcinków długości \(\displaystyle{ \sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}}\) można zbudować trójkąt. Odpowiedź uzasadnij.

[badmor]

A czy przypadkiem w zadaniu 2. nie powinno być \(\displaystyle{ n}\) w parzystej potędze?

[ben2109]

Sorry, zagapiłem się

[Ponewor]

1.:    

Mamy dowodzić, że jak do skończonego zbioru liczb dorzucimy większą od wszystkich, to średnia wzrośnie? Ciekawe.
Z założenia:
\(\displaystyle{ l_{2013} > l_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1, \ 2, \ \ldots , \ 2012}\).
Dodajemy \(\displaystyle{ 2012}\) takich nierówności dla \(\displaystyle{ i=1, \ 2, \ \ldots , \ 2012}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2012l_{2013} > l_{1}+l_{2}+ \ldots + l_{2012}}\)
Dodajmy stronami \(\displaystyle{ 2012 \left( l_{1}+l_{2}+ \ldots + l_{2012} \right)}\) i mamy:
\(\displaystyle{ 2012 \left(l_{1}+l_{2}+ \ldots + l_{2012} + l_{2013} \right) > 2013 \left( l_{1}+l_{2}+ \ldots + l_{2012} \right)}\)
Co równoważnie daje nam:
\(\displaystyle{ \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}+ l_{2013}}{2013} > \frac{l_{1}+ l_{2}+ l_{3} + ...+ l_{2012}}{2012}}\)

2.:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n}\) jest taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ n^{4} + 33 = k^{2} \wedge k \in \NN \Leftrightarrow 33 = \left(k-n^{2} \right) \left( k+n^{2} \right)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ k+n^{2} \in \NN \Rightarrow k-n^{2} \in \NN}\). Ponadto \(\displaystyle{ k+n^{2} > k-n^{2}}\). Mamy zatem układy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} k+n^{2}=33 \\ k-n^{2}=1 \end{cases} \vee \begin{cases} k+n^{2}=11 \\ k-n^{2}=3 \end{cases}}\)
Które dają nam następujące rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} k=17 \\ n=4 \end{cases} \vee \begin{cases} k=7 \\ n =2 \end{cases}}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ n=2 \vee n=4}\).

3.:    

Przyrównujemy pierwsze do drugiego i mamy:
\(\displaystyle{ xy+z=yz+x \Leftrightarrow y \left(x-z \right)- \left(x-z \right) = 0 \Leftrightarrow y=1 \vee x=z}\)
Niech więc \(\displaystyle{ y=1}\), mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2z=5 \\ x+z=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ z=2 \end{cases}}\)
Oczywiście trójka \(\displaystyle{ \left( 1, \ 1, \ 2 \right)}\) jest rozwiązaniem naszego układu. Teraz niech \(\displaystyle{ x=z}\), mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy+x=5 \\ 2x+y=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x= \frac{5}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}}\)
Zatem rozwiązania naszego układu, to trójki \(\displaystyle{ \left(1, \ 1, \ 2 \right), \ \left(1, \ 2, \ 1 \right), \ \left(\frac{5}{4}, \ \frac{3}{2} , \ \frac{5}{4} \right)}\)

4.:    

Przez \(\displaystyle{ \left[ \FFF \right]}\) będziemy oznaczali pole figury \(\displaystyle{ \FFF}\).
\(\displaystyle{ \frac{\left[ BQL\right] }{\left[ BAL\right] } = \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \Rightarrow \left[ BQL\right] = \left[ BAL\right] \cdot \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \\
\frac{\left[ CQL\right] }{\left[ CAL\right] } = \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \Rightarrow \left[ CQL\right] = \left[ CAL\right] \cdot \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \\
\frac{\left[ BQC\right] }{ \left[ BAC\right] } = \frac{\left[ BQL\right] + \left[ CQL\right] }{\left[ BAC\right] } = \frac{\left[ BAL\right] \cdot \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } + \left[ CAL\right] \cdot \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| }}{\left[ BAC\right] }= \frac{\frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \cdot \left(\left[ BAL + CAL\right] \right)}{\left[ BAC\right] }=\frac{ \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| } \cdot \left[ BAC\right] }{ \left[ BAC\right] } = \frac{\left| QL\right| }{\left| AL\right| }}\)
Błeeee nie mam pomysłu. Dajmy tym punktom jakieś współrzędne. Albo najpierw przepałuję na kartce. Plani mnie przerasta.

[ben2109]

Ukryta treść:    

Dla trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\) mamy nierówności
\(\displaystyle{ a+b>c\\a+c>b\\b+c>a}\)

Załóżmy, że trójkąt o następujących bokach jak w treści zadania istnieje, jego boki będą spełniać warunki
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c} \Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}>c}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{c}>\sqrt{b} \Rightarrow a+c+2\sqrt{ac}>b}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}+\sqrt{c}>\sqrt{a} \Rightarrow b+c+2\sqrt{bc}>a}\)
Nierówności te są prawdziwe, porównując z nierównościami trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\).
Taki trójkąt można skonstruować.

[Marcinek665]

4:    

Twierdzenie Van Aubela zalatwia sprawę. Jeśli ktoś chce elementarnie to trzeba rozpisać parę mądrych Talesów. Jako ciekawostkę dodam, że zadanie to pojawiło się na finale zeszłorocznego konkursu Politechniki Warszawskiej

[ben2109]

W czwartym wyszło mi pole 9:13, ale niestety w domciu dopiero .

[Marcinek665]

Do zadania trzeciego można dodać jeszcze następujący komentarz:

3:    

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_{+}}\) zachodzi podwójna nierówność

\(\displaystyle{ n^4 < n^4 + 33 < (n^2+5)^2}\).

Wobec tego musi zachodzić któraś z równości \(\displaystyle{ n^4 + 33 = (n^2 + i)^2}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\), a to są już zwykłe równania kwadratowe.

[ben2109]

Zadanie 4

Ukryta treść:    

Kilka faktów:
\(\displaystyle{ 3P_{AQK}=P_{KBQ}\\3P_{QLB}= P_{QLC}}\)
Korzystając z faktu, że \(\displaystyle{ P_{ABL}=P_{ACK}}\) oraz, że trójkąt \(\displaystyle{ AQK}\) jest częścią wspólną tych dwóch trójkątów, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P_{ACQ}=P_{KBLQ}}\)

Dla ułatwienia życia, niech \(\displaystyle{ P_{AQK}= P_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ P_{BLQ}= P_{2}}\)
\(\displaystyle{ 3P_{AKC}=P_{KBC} \Rightarrow 3( 4P_{1}+ P_{2})=3P_{1}+ 4P_{2}}\)
\(\displaystyle{ 9P_{1}= P_{2}}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ 9P_{1}}\) pod każde \(\displaystyle{ P_{2}}\) i otrzymujemy stosunek:
\(\displaystyle{ P_{BQC} \ : \ P_{ABC} \Rightarrow 36P_{1}: 52P_{1}= 9 : 13}\)

[dominikas14]

Jak sądzicie, jaki będzie próg, aby dostać się do finału?

[Ponewor]

Przy takich zadaniach typuję minimum \(\displaystyle{ 4}\). Ale to raczej na zasadzie "Nie znam się, to się wypowiem".

[ben2109]

Będzie 16-20 pkt (każde zadanie max punktowane po 5pkt). Z tego co widzę, to była chyba najłatwiejsza rejonówka od paru lat.

[Marcinek665]

Przy takich zadaniach typuję minimum \(\displaystyle{ 4}\). Ale to raczej na zasadzie "Nie znam się, to się wypowiem".

Nie przesadzaj, to jest konkurs wojewódzki, a nie jakiś OM/OMG. Odkąd pamiętam na finał wystarczały trzy zadania

Ukryta treść:    

Dla trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\) mamy nierówności
\(\displaystyle{ a+b>c\\a+c>b\\b+c>a}\)

Załóżmy, że trójkąt o następujących bokach jak w treści zadania istnieje, jego boki będą spełniać warunki
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c} \Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}>c}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{c}>\sqrt{b} \Rightarrow a+c+2\sqrt{ac}>b}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}+\sqrt{c}>\sqrt{a} \Rightarrow b+c+2\sqrt{bc}>a}\)
Nierówności te są prawdziwe, porównując z nierównościami trójkąta o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\).
Taki trójkąt można skonstruować.

To nie jest poprawne rozumowanie, bo próbujesz udowodnić implikację "jeśli istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt{a}, \ \sqrt{b}, \ \sqrt{c}}\), to istnieje również o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\)", a to nie jest prawda, bo wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=1, \ b=4,00000001, \ c=9}\) i wówczas istnieje trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt{a},\ \sqrt{b}, \ \sqrt{c}}\), ale nie o bokach \(\displaystyle{ a, \ b, \ c,}\) bo \(\displaystyle{ a+b<c}\). Ale będzie poprawnie, gdy napiszemy implikację w drugą stronę:
\(\displaystyle{ a + b > c \Rightarrow a + 2\sqrt{ab} + b > c \Rightarrow (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > c \Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c}}\).

[ben2109]

No to lipa. xd Mam nadzieję, że za rok pójdzie lepiej.

[Marcinek665]

No to lipa. xd Mam nadzieję, że za rok pójdzie lepiej.

Sądzę, że za błąd, który naprawia się poprzez obrócenie strzałki w drugą stronę, nie obetną dużo punktów.