XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
michaelmontana16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 kwie 2012, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tennessee

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: michaelmontana16 »

Podajcie zadania i wasze odpowiedzi
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: mortan517 »

Poziom II

1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ a:b:c = 6:3:2}\).

2. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie: \(\displaystyle{ \left| x-2\right| + \left| x+2\right| + \left| y\right| = 6}\).

3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{2} - (p+1)x + 2 - p = 0}\) ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest sinusem a drugi cosinusem tego samego kąta.

4. Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE \ i \ CF}\) są wysokościami trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta DEF. Oblicz miary kątów trójkąta DEF, wiedząc, że kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają miary \(\displaystyle{ 45^{\circ}, 60^{\circ} \i\ 75^{\circ}}\).

5. Udowodnij, że jeżeli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej, druga piatej i trzecia szóstej, to liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7, 11 \ i \ 13}\).



Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
2. tak jak tu
3. brak
4. 30, 60, 90
5. wyszedłem z założenia , liczbę zapisałem w postaci ogólnej
Cubix651
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 22 lis 2010, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpackie

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: Cubix651 »

W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak:
Ukryta treść:    
Pozostałe mam tak samo.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: Ponewor »

mortan517 pisze:Poziom II

1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ a:b:c = 6:3:2}\).


Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
Czyżbyś udowodnił implikację w drugą stronę? Zadanie na wzory skróconego mnożenia, oraz fakty: jeśli suma nieujemnych cuśiów to zero, to cusie są równe zero, i jeśli kwadrat liczby to zero, to liczba to zero.
Awatar użytkownika
dwumian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 20 mar 2011, o 14:29
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 34 razy

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: dwumian »

Czy ten konkurs jest jakoś rzetelnie organizowany? Lista uczestników na poszczególnych etapach itp.?
Transpluton
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 1 gru 2012, o 14:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zależna od przestrzeni metrycznej...
Podziękował: 94 razy

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: Transpluton »

Czy mógłbym prosić o podanie zadań Poziomu I z etapu wojewódzkiego?
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei

Post autor: Marcinek665 »

Cubix651 pisze:W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak:
Ukryta treść:    
Pozostałe mam tak samo.
Sam sobie zaprzeczyłeś. Można podstawić i okazuje się, że wychodzi to co trzeba bo:

\(\displaystyle{ a:b:c = 1:2:3 \Leftrightarrow (a-2b)^2 + (a-3c)^2 = 0 \Leftrightarrow 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\). Zatem rozumowanie jest równoważnością.
ODPOWIEDZ