XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 1 kwie 2012, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tennessee
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
Poziom II
1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ ac = 6:3:2}\).
2. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie: \(\displaystyle{ \left| x-2\right| + \left| x+2\right| + \left| y\right| = 6}\).
3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{2} - (p+1)x + 2 - p = 0}\) ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest sinusem a drugi cosinusem tego samego kąta.
4. Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE \ i \ CF}\) są wysokościami trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta DEF. Oblicz miary kątów trójkąta DEF, wiedząc, że kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają miary \(\displaystyle{ 45^{\circ}, 60^{\circ} \i\ 75^{\circ}}\).
5. Udowodnij, że jeżeli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej, druga piatej i trzecia szóstej, to liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7, 11 \ i \ 13}\).
Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
2. tak jak tu
3. brak
4. 30, 60, 90
5. wyszedłem z założenia , liczbę zapisałem w postaci ogólnej
1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ ac = 6:3:2}\).
2. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie: \(\displaystyle{ \left| x-2\right| + \left| x+2\right| + \left| y\right| = 6}\).
3. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{2} - (p+1)x + 2 - p = 0}\) ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest sinusem a drugi cosinusem tego samego kąta.
4. Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE \ i \ CF}\) są wysokościami trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta DEF. Oblicz miary kątów trójkąta DEF, wiedząc, że kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają miary \(\displaystyle{ 45^{\circ}, 60^{\circ} \i\ 75^{\circ}}\).
5. Udowodnij, że jeżeli w liczbie sześciocyfrowej cyfra pierwsza jest równa czwartej, druga piatej i trzecia szóstej, to liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7, 11 \ i \ 13}\).
Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
2. tak jak tu
3. brak
4. 30, 60, 90
5. wyszedłem z założenia , liczbę zapisałem w postaci ogólnej
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpackie
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak:
Pozostałe mam tak samo.
Ukryta treść:
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
Czyżbyś udowodnił implikację w drugą stronę? Zadanie na wzory skróconego mnożenia, oraz fakty: jeśli suma nieujemnych cuśiów to zero, to cusie są równe zero, i jeśli kwadrat liczby to zero, to liczba to zero.mortan517 pisze:Poziom II
1. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\), to \(\displaystyle{ ac = 6:3:2}\).
Moje odpowiedzi:
1. to można podstawić i wychodzi
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
Czy ten konkurs jest jakoś rzetelnie organizowany? Lista uczestników na poszczególnych etapach itp.?
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 14:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zależna od przestrzeni metrycznej...
- Podziękował: 94 razy
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
Czy mógłbym prosić o podanie zadań Poziomu I z etapu wojewódzkiego?
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
XIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. F. Lei
Sam sobie zaprzeczyłeś. Można podstawić i okazuje się, że wychodzi to co trzeba bo:Cubix651 pisze:W zadaniu 1 wydaje mi się, że nie można podstawić, bo wtedy udowadniasz w drugą stronę. Ja zrobiłem tak:Pozostałe mam tak samo.Ukryta treść:
\(\displaystyle{ ac = 1:2:3 \Leftrightarrow (a-2b)^2 + (a-3c)^2 = 0 \Leftrightarrow 2a ^{2} + 4b ^{2} + 9c ^{2} = 4ab + 6ac}\). Zatem rozumowanie jest równoważnością.