XII Podkarpacki Konkurs Matematyczny (rejon)

[mortan517]

Dokładnie tak jak ty miałem

10,5, 196, dowód
no i 19pktów

czekamy na wyniki teraz

[michaelmontana16]

a gdzie pisałeś rejon? ; )

[dwumian]

Pisałem pierwszy poziom, mam 30. W drugim ładnie rozpisuje się, gdy "dodasz i odejmiesz jedynkę", w czwartym przedłuż odcinki CM i CN tak, aby przecięły prostą, która zawiera bok AB, wtedy łatwiej zauważyć

[mortan517]

w Jarosławiu

[michaelmontana16]

dwumian :
próbowalem rozpisać tak z tą jedynką, ale zostaje mi zawsze - 1 i nie mam pojęcia co z tym zrobić.
a w 4 nawet rysunku nie umiem zrobić, także twoja wskazówka nic mi nie dała. też pisałem w Jarosławiu NIe liczę na nic, bo te zadania 1,3,5 były tak banalne że każdy glupi by je zrobił. Sztuką było zrobić 2 i 4. Moim zdaniem zadanie 1;3;5 były o wiele, wiele łatwiejsze niż te na I etapie. Natomiast 2 i 4 były mniej więcej tego poziomu trudności, co to 4 z pięciokątem ; )

[kamil13151]

2:    

Przyjąć \(\displaystyle{ x=2001}\) i mamy rozkładanie wielomianu 4 stopnia.

[michaelmontana16]

w I klasie nie ma wielomianów, więc trzeba siębez tego obejść ; )

[Leszczu21]

Niech x=2001. Wtedy \(\displaystyle{ x^{2}+\left( x+1\right)^{2}+\left( x\left( x+1\right) \right)^{2}=x^{2}+x^{2}+2x+1+x^{4}+2x^{3}+x^{2}=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1=\left( x^{2}+x+1\right)^{2}}\)
EDIT: Sorry, zapomniałem, że to co robię, to rozkładanie wielomianu. Warto się jednak tego nauczyć, nawet w pierwszej klasie liceum I idzie też z indukcji, ale nie chce mi się pisać, za dużo texa.

[mortan517]

Właśnie doszedłem do tego momentu
\(\displaystyle{ =x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1}\)
i nie wiedziałem co dalej.. ;d

[kamil13151]

mortan517, zapoznaj się z metodą Ferrariego.

[dwumian]

Co do zad. 4, po wskazanych przeze mnie przedłużeniach półproste \(\displaystyle{ CM}\) i \(\displaystyle{ CN}\) przecinają prostą zawierającą bok \(\displaystyle{ AB}\) w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Rozważmy trójkąt \(\displaystyle{ CDE}\). Czym będzie szukany odcinek w tym trójkącie?

W dobrze narysowanym trójkącie lepiej jest to zauważyć, lecz później trzeba to ładnie udowodnić, co już jest proste, gdy zorientujemy się czym jest ów odcinek.

[michaelmontana16]

a mógłb ktoś wstawić rysunek do 4 ?
Miałem 19 pkt i jestem na poziomie I i sięnie dostałem ; <
Szkoda.
Odpuszczam sobie matmę i biorę się za artystyczne rzeczy

[Marcinek665]

Mając równanie postaci:

\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 0}\)

Albo od razu widzimy zawinięcie, albo możemy potraktować je następująco:

\(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem, więc podzielmy wszystko stronami przez przez \(\displaystyle{ x^2}\).

\(\displaystyle{ \left(x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 2\left( x + \frac{1}{x}\right) + 3 = 0}\)

No, ale wiadomo, że \(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2}\), więc

\(\displaystyle{ \left(x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 2\left( x + \frac{1}{x}\right) + 3 = \left( x + \frac{1}{x}\right)^2 + 2\left( x + \frac{1}{x}\right) + 1 = \left( x + \frac{1}{x} + 1\right) ^2}\)

[Mariusz M]

kamil13151, można zauważyć że jest to równanie zwrotne
Można także pobawić się w szukanie największego dzielnika wielomianu i jego pochodnej
(jest to sposób na eliminację pierwiastków wielokrotnych)

Metody ogólne równania czwartego stopnia

1.
Rozkład na czynniki kwadratowe
(wyrugowanie elementu x^3 odpowiednim podstawieniem
a następnie wymnożenie dwóch trójmianów w postaci ogólnej i porównanie współczynników
albo
przekształcenie wielomianu do postaci różnicy kwadratów korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego)
2.
Po odpowiednich podstawieniach otrzymujemy wzory Viete'a wielomianu trzeciego stopnia
Korzystamy tutaj z pomysłu na równanie trzeciego stopnia

[michaelmontana16]

Ma ktoś zadania dla obu poziomów z tegorocznego finału? : )