XXVII Konkurs Matematyczny im. Prof. J. Marszała

[magda754]

a co z liczbami ujemnymi

[mortan517]

Mógłby ktoś napisać rozwiązania do dwóch pozostałych zadań (klasa 1)?

Zad.1.
Podaj z uzasadnieniem liczbę elementów zbioru zawierającego trójkąty prostokątne, których długości boków wyrażone są liczbami pierwszymi.

Zad.3.
Na bokach AD i BC równoległoboku ABCD zaznaczono punkty M i K tak, że |AM|=|CK| oraz punkt P należący do boku AB. Proste MK, DP, CP rozcinają równoległobok na trzy trójkąty i trzy czworokąty. Wykaż, że pole jednego trójkąta jest równe sumie pól dwóch pozostałych trójkątów.

To drugie zadanie miałem tak samo jak Cubix651

Wielkie dzięki za pomoc, pozdrawiam.

[Panda]

1.
\(\displaystyle{ a^{2}=(c-b)(c+b)}\)
Dzielniki \(\displaystyle{ a^2}\) to \(\displaystyle{ 1,a}\) i \(\displaystyle{ a^{2}}\). Jeśli \(\displaystyle{ c-b=a}\), to \(\displaystyle{ c+b=\frac{a^{2}}{a}=a \Rightarrow b=0}\) co nie jest prawdą. Zatem \(\displaystyle{ c-b=1}\), stąd łatwo z pierwszości i parzystości wnioskujemy \(\displaystyle{ c=3}\) i \(\displaystyle{ b=2}\), to nam daje \(\displaystyle{ a=\sqrt{5}}\) a to też daje sprzeczność. Pominąłem parę oczywistości tam, przy iloczynie.

[Marcinek665]

1. Ewentualnie możemy stwierdzić, że co najmniej jedna liczba z tej trójki jest parzysta. Ale skoro jest pierwsza, to musi być równa \(\displaystyle{ 2}\). Jednak równanie \(\displaystyle{ a^2+b^2=4}\) ani równanie \(\displaystyle{ a^2 + 4 = b^2}\) nie mają rozwiązań w liczbach pierwszych.

[Cubix651]

Tak na szybko:

Rozwiązanie zad 3 klasa 1:    

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/KYA/

\(\displaystyle{ P_A + P_1 + P_B + P_2 = \frac1 2 \left| AB \right| h}\)
\(\displaystyle{ P_{ABKM} = \frac 1 2 \left| AB \right| h}\)
\(\displaystyle{ P_A + P_1 + P_B + P_2 = P_{ABKM}}\)
\(\displaystyle{ P_A + P_1 + P_B + P_2 = P_3 + P_A + P_B}\)
\(\displaystyle{ P_1 + P_2 = P_3}\)

[krystian8207]

Jak tam wyniki? Mnie zaskoczyła komisja sprawdzająca. Za pierwsze zadanie straciłem 3 pkt. Miałem wszystko ok i podejrzewałem, że nie popatrzyli na drugą stronę rozwiązania. Moja nauczycielka zadzwoniła do "Nich" i zapytaniem o moje rozwiązanie. Okazało się, że zrobiłem "rażący błąd" podczas obliczenia pierwiastków równania przy ujemnej delcie. Może mi ktoś powiedzieć czy to jest liczenie pierwiastków równania przy ujemnej delcie:
...
Z zadania dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ n^{2}+29n-5000=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta<0}\)
Zatem równanie nie ma rozwiązania, czyli nie istnieją takie n.
Rozpatrzmy wyrażenie \(\displaystyle{ 10(n^{2}+29n)}\).
Zauważmy, że wartość tego wyrażenia dla n=57 wynosi 49020, natomiast dla n=58 wynosi 50460.
Zatem ...

Czy moja matematyka jest jakaś inna, że obliczanie wartości wyrażenia dla danych n to obliczanie równania z ujemną deltą? ;D Ostatecznie udało mi się jednego punkta im zabrać. Mimo to mam mieszane uczucia co do tego sprawdzenia.

[kamil13151]

krystian8207, ale delta jest dodatnia.

[krystian8207]

Hehe. Ale ze mnie idiota. Dzięki kamil13151, zakodowałem coś sobie i przez to się niesłusznie bulwersowałem. Przynajmniej teraz będę świadomy swojego błędu i nie będę obwiniał komisji ;]

[krystian8207]

Może ktoś roztrzaskać zadanie drugie z klas trzecich bo nie ogarniam ;D
Treść:
Wykaż, że jeżeli c, d są liczbami całkowitymi, przy czym \(\displaystyle{ c \neq 0}\) i \(\displaystyle{ d>0}\), to równanie \(\displaystyle{ x^{3}-3cx^{2}-dx+c=0}\) nie posiada więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

[Marcinek665]

Się robi.

Zauważmy przede wszystkim, że każdy pierwiastek wymierny tego wielomianu będzie jednocześnie całkowity. Ponadto jeśli założymy nie wprost, że istnieją co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) wymierne pierwiastki (niech to będą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)), to na mocy założenia \(\displaystyle{ W(a)=W(b)=0}\) dostaniemy, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 - 3a^2c - ad + c=0 \\ b^3 - 3b^2c - bc + c=0 \end{cases}}\)

Z pierwszego równania wnosimy, że \(\displaystyle{ c}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a}\), a z drugiego, że \(\displaystyle{ c}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ b}\) (wykorzystamy to później). Ponadto wielomian trzeciego stopnia ma \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) pierwiastki rzeczywiste, więc w naszym przypadku będzie ich musiał mieć 3 (skoro ma co najmniej \(\displaystyle{ 2}\), to musi mieć ich dokładnie \(\displaystyle{ 3}\)), wobec tego nasz wielomian rozkłada się następująco:

\(\displaystyle{ x^{3}-3cx^{2}-dx+c=(x-a)(x-b)(x-f)}\).

Wtedy napiszmy ze wzorów Vieta:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+f=3c \\ ab+bf+fa=-d \\ abf = -c \end{cases}}\)

Stąd widzimy, że

\(\displaystyle{ f}\) także jest liczbą całkowitą, więc dzieli on liczbę \(\displaystyle{ c}\).

Z zależności \(\displaystyle{ a|c}\), \(\displaystyle{ b|c}\), \(\displaystyle{ f|c}\) wnosimy, że zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ |a| \le |c|}\), \(\displaystyle{ |b| \le |c|}\), \(\displaystyle{ |f| \le |c|}\). Wobec tego z pierwszego równania naszego układu równań mamy:

Jeśli \(\displaystyle{ c>0}\), to \(\displaystyle{ 3c = a+b+f \le c + c + c = 3c}\), a jeśli \(\displaystyle{ c<0}\), to łatwo dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ f}\) także są ujemne i mnożąc wszystko przez \(\displaystyle{ -1}\) możemy sprowadzić równanie do sytuacji z \(\displaystyle{ c>0}\). Dlatego we wszystkich nierównościach \(\displaystyle{ |a| \le |c|}\), \(\displaystyle{ |b| \le |c|}\), \(\displaystyle{ |f| \le |c|}\) muszą zachodzić równości, ponadto liczby są tych samych znaków, czyli mamy w istocie \(\displaystyle{ a=b=f=c}\). Jednak patrząc na trzecie równanie układu mamy: \(\displaystyle{ -c=abf=c^3}\), czyli \(\displaystyle{ c^3 + c = 0}\), więc \(\displaystyle{ c(c^2 + 1)=0}\). Ale na mocy założeń zadania \(\displaystyle{ c \neq 0}\), więc mamy sprzeczność. Założenie, że wielomian ma co najmniej 2 pierwiastki wymierne doprowadziło nas do sprzeczności, więc dowiedliśmy tym samym, że może mieć on co najwyżej jeden pierwiastek wymierny, co kończy zadanie.

EDIT: Dziękuję timonowi za zwrócenie uwagi, że zapomniałem rozpatrzyć \(\displaystyle{ c<0}\)

[krystian8207]

Na stronie lo-lancut.pl są już wyniki z finału. Gratuluję wszystkim.