Zadania dla klas pierwszych:
Zadania dla klas trzecich:1. Okrąg o promieniu 1 jest wpisany w czworokąt wypukły ABCD. Okrąg ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle KLM = 4\sphericalangle AKN}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle KNM = 4\sphericalangle BKL.}\) Oblicz długość odcinka LN.
2. Liczby a, b, c są dodatnie. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{(a+1)(b+1)} + \frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)} < 1}\)
3. Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie x, które spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x^{2} + x^{3} + x^{4} = 3.}\)
1. Dla jakich liczb naturalnych m i n liczba \(\displaystyle{ m^{4} + 4 n^{4}}\) jest liczbą pierwszą ?
2. Dana jest funkcja f określona wzorem:\(\displaystyle{ f(x) = ax^{2} + bx + c.}\) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ |f(-1)| \le 1}\), \(\displaystyle{ |f(0)| \le 1}\), to dla \(\displaystyle{ x \in <-1,1>}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)| \le \frac{5}{4} .}\)
3. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie M. Niech AB będzie cięciwą większego okręgu, styczną jednocześnie do małego okręgu; oznaczmy przez T punkt styczności. Udowodnij, że półprosta MT jest dwusieczną kąta AMB.
