[Rzeszów] IV Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 20 lis 2004, o 21:55

1.Znajdź funkcję liniową g, która dla każdego x e R spełnia następujące dwa warunki:
g(-3x)=-3g(x)+12 i g(x-1)=5-g(x)
2.Udowodnij nierówność 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n-1)>1/2
3.W trójkąt ABC wpisano okrąg o promieniu R. Równolegle do boków trójkąta poprowadzono styczne do okręgu, które odcięły przy wierzchołkach A, B i C trzy mniejsze trójkąty zawarte w ABC. Udowodnij, że R=r1+r2+r3, gdzie r1, r2, r3 są promieniami okręgów wpisanych w powstałe trójkąty.
4.Rozwiąż układ równań
|x1|+x2=1
|x2|+x3=1
|x3|+x4=1
......
|xn|+x1=1
gdzie n jest liczbą naturalną nieparzystą
5.Udowodnij, że z odcinków, które są środkowymi boków trójkąta ABC, można zbudować trójkąt. Oblicz stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta ABC.

Możecie mi pomóc jeszcze z tymi zadaniami?
Te zadania są z IV Podkarpackie Konkursu Matematyczne z III etapu, zrobiłem jedno zadanie (4) i byłem wyróżniony, aby wygrać wystarczyło zrobić 2 zadania :/

Megus · Post autor: **Megus** » 20 lis 2004, o 22:06

Zad 2

przez indukcje

dla n=1 oczywiste, zakladamy prawdziwosc m i dowodzimy m+1. Sprowadza sie to do dowodu:

1(2m+1)+1(2m)>1(m+1)

co latwo wychodzi po pomnozeniu

Megus · Post autor: **Megus** » 20 lis 2004, o 22:16

Zad 1
Z pierwszego:

-3ax+b=-3ax-3b+12 => b=3

Z drugiego:

ax-a+3=5-ax+5 => a=7/(2x-1)

P.S. to konkurs dla gimnazjum ?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 21 lis 2004, o 09:51

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 21 lis 2004, o 10:01

Megus
używaj opcji edycja postów i nie pisz 2 i wiecej postów pod rząd ...

tomek09876 · Post autor: **tomek09876** » 21 lis 2004, o 13:19

Megus pisze:a=7/(2x-1)

no to zle zrobiles bo miala byc liniowa a wyszla ci homograficzna
hehe zadanie nie ma rozw
zad2 nie spelnia dla n=1 i n=2

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 21 lis 2004, o 14:02

No zadanie I nie ma rozwiązania

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 21 lis 2004, o 15:39

Skrzypu pisze: Te zadania są z IV Podkarpackie Konkursu Matematyczne z III etapu, zrobiłem jedno zadanie (4) i byłem wyróżniony, aby wygrać wystarczyło zrobić 2 zadania :/

no jeszcze zapomniałeś dodać że dla klas pierwszych w klasach drugich były prostrze żeby wygrać to chyba trzeba było mieć maksa:-)

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 22 lis 2004, o 13:29

No tak było w klasach pierwszych i dowiedziałem się o tym wczoraj jak jechałem do Jasła z kumplem który wygrał ten konkurs i powiedział mi, że zrobił tylko dwa zadania

To możecie mi jeszcze pomóc z 3 i 5 zadaniem?

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 22 lis 2004, o 17:21

dwa zadania w w którym konkursie i w której kategorii?

a co do 5 to istenienie tego trójkąta chyba dość łatwo wychodzi w wektorów albo wystarczy podorysowywać te "środkowe" obok i pokazać że tak są równoległoboki i te odcinki stykają się w jednym punkcie... no o ile dobrze pamiętam

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 24 lis 2004, o 00:04

No dobra, ale jak wyliczyć pole tego trójkąta, wzór na środkową i wzorem Herona chyba nie

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 24 lis 2004, o 15:23

Zad 3 jest dosyc proste ... no chyba ze sie gdzieś pomyliłem ...

Wystarczy skorzystac z jednego wzoru:
r=(p-a)*tg(A/2)
gdzie
r - promień okregu wpisanego w trójkat
p - połowa obwodu trójkąta
a - bok znajdujący sie naprzeciw kąta A(alfa)

Łatwo zauwazyc rownosc niektorych boków i katów a korzystając z podanego wzoru opierając sie tylko na 1 kącie bezproblemowo wyjdzie równość do udowodnienia ...

kolorowe plamki to kąty a równe boki mają taką samą barwe oczywiscie nie wszystkie zaznaczyłem ...

Ten drugi trojkąt powstał przez przedłuzenie prostych rownoległych ... widać ze jest to ten sam trojkat tylko w innej "pozycji" ... zadanie nie trudne jednak trzeba znać ten wzor

Mozna również chyba zrobić ze wzoru P=1/2absinA ale za duzo zabawy ...

TiWi · Post autor: **TiWi** » 27 maja 2005, o 12:48

A jak zrobić czwarte zadanie?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 27 maja 2005, o 22:31

Dowodzisz, że \(\displaystyle{ x }\) i teraz możesz opuścić wartość bezwzględną, dalej już prosto.

TiWi · Post autor: **TiWi** » 28 maja 2005, o 13:27

Dzięki, już rozumiem. Tak na marginesie: właśnie sie przygotowuję do V PKM i właśnie chcę też przerobić zadania z tamtego roku. Wtedy też byłem na tym konkursie, ale żadnego zadania do końca nie zrobiłem.