X Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei - etap

[BaruZool]

X Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei - etap szkolny, poziom I

Zad.1. Rozwiaz rownanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 1, \ dla \ x, \ y \ \in N}\)
Zad.2. Dlugosci bokow trojkata sa trzema kolejnymi liczbami calkowitymi nie mniejszymi od \(\displaystyle{ 3}\). Wykaz, ze wysokosc tego trojkata, opuszczona na bok o srodkowej dlugosci, dzieli go na odcinki, ktorych roznica dlugosci jest rowna \(\displaystyle{ 4}\)
Zad.3. Wiadomo, ze \(\displaystyle{ x - \frac{1}{x} = 3.}\) Oblicz \(\displaystyle{ x^{5} - \frac{1}{x^{5}}}\).
Zad.4. Rozwiaz rownanie \(\displaystyle{ [ \frac{x-1}{2}] = \frac{x+1}{3}}\), gdzie symbol \(\displaystyle{ [a]}\) oznacza "czesc calkowita" liczby \(\displaystyle{ a}\), czyli najwieksza liczbe calkowita nie wieksza od liczby \(\displaystyle{ a}\).
Zad.5. W trojkacie roznobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczne kata \(\displaystyle{ ABC}\) i kata \(\displaystyle{ BAC}\) przecinaja sie w punkcie \(\displaystyle{ O}\) nalezacym do odcinka \(\displaystyle{ MN}\) rownoleglego do boku \(\displaystyle{ BC}\) i takiego, ze punkt \(\displaystyle{ M}\) nalezy do \(\displaystyle{ AB}\) i punkt \(\displaystyle{ N}\) nalezy do \(\displaystyle{ AC}\). Uzasadnij, ze \(\displaystyle{ |MN| = |MB| + |NC|}\).

Zapraszam do rozwiazywania

[Malutka_Ida]

13 marca jest etap powiatowy (niewiele czasu zostało...)

To prawda, że w tym roku nie będzie etapu rejonowego?

[Aerosmith]

Mógłby ktoś pokazać rozwiązania do tych zadań?

[Fizus]

1)Zauważmy, że x i y są różne od zera oraz od jedynki.
\(\displaystyle{ \frac{x+y+1}{xy}=1}\)
\(\displaystyle{ x+y+1=xy}\)
\(\displaystyle{ y+1=xy-x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{y+1}{y-1}}\)
Podstawiając do wcześniejszej równości:
\(\displaystyle{ \frac{y+1+y ^{2}-y+y-1 }{y-1}=xy}\)
\(\displaystyle{ \frac{y ^{2}-y }{y-1}=xy}\)
\(\displaystyle{ y=xy}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
Czyli wychodzi na to, że równanie nie ma rozwiązania. Nie mam pojęcia czy nie popełniłem błędu, więc proszę o ewentualną korektę.
4)Trzeba rozpatrzyć dwa przypadki: gdy x jest parzysty oraz gdy nie jest.

[zaudi]

zad 1.
\(\displaystyle{ x+y+1=xy \Leftrightarrow y+x+1-xy=0 \Leftrightarrow x(1-y)+y-1+2=0 \Leftrightarrow (x-1)(1-y)=-2}\) dalej to już łatwo:)

[Fizus]

zaudi, zgadzam się oczywiście z Twoim rozwiązaniem. Popełniłem błąd w dodawaniu, przepraszam za wprowadzenie zamętu Jako zadośćuczynienie dam zadanie 3:
\(\displaystyle{ x- \frac{1}{x}=3}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-2+ \frac{1}{x ^{2} }=9}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+ \frac{1}{x ^{2} }=11}\)
\(\displaystyle{ (x ^{2}+ \frac{1}{x ^{2} })(x- \frac{1}{x})=33}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}-x+ \frac{1}{x}-\frac{1}{x ^{3} }=33}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}- \frac{1}{x ^{3} }=36}\)(*)
\(\displaystyle{ x ^{4}+2+ \frac{1}{ x^{4} }=121}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}+ \frac{1}{x ^{4} }=119}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{1}{x})(x ^{4}+ \frac{1}{x ^{4} }=357}\)
\(\displaystyle{ x^5- \frac{1}{x ^{5} }+ \frac{1}{x ^{3} }-x ^{3}=357}\)
Korzystając z(*)
\(\displaystyle{ x ^{5}- \frac{1}{x ^{5} }-24=357}\)
\(\displaystyle{ x ^{5}- \frac{1}{x ^{5} }=381}\)
Mam nadzieję, że tym razem czegoś nie pomyliłem.

[pawelsuz]

Pierwsze można też inaczej:
Bez straty ogólności \(\displaystyle{ x \le y}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \ge 3}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} <1}\). Z tego wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x \in \{1,2 \}}\) i dalej to już banał.

-- 6 marca 2010, 10:16 --

Czwarte:
\(\displaystyle{ [ \frac{x-1}{2}] = \frac{x+1}{3} \ \star}\)
Lewa strona jest liczbą całkowitą, więc prawa też musi być, czyli \(\displaystyle{ 3|x+1 \Leftrightarrow x=3l+2 \Leftrightarrow x=6k+2 \vee x=6k+5}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\).
Przypadki:
1. \(\displaystyle{ x=6k+2}\). Podstawiając do \(\displaystyle{ \star}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ [ \frac{6k+1}{2} ] = \frac{6k+3}{3}}\)
\(\displaystyle{ [ 3k+ \frac{1}{2} ]=2k+1}\)
\(\displaystyle{ 3k=2k+1}\)
\(\displaystyle{ k=1 \Rightarrow x=8}\)

2. \(\displaystyle{ x=6k+5}\). Wtedy
\(\displaystyle{ [ \frac{6k+4}{2} ] = \frac{6k+6}{3}}\)
\(\displaystyle{ [3k+2]=2k+2}\)
\(\displaystyle{ 3k+2=2k+2}\)
\(\displaystyle{ k=0 \Rightarrow x=5}\)

[Tomix91]

Fizus, Widzę mały błądzik
\(\displaystyle{ x ^{3}- \frac{1}{x ^{3} }=36(*)}\)
.....
\(\displaystyle{ x ^{5}- \frac{1}{x ^{5} }-24=357}\)
Dlaczego wziąłeś -24 a nie - 36 .
I jeszcze mam małą prośbę możesz mi wytłumaczyć czwartą linijkę wiem że to jest dobrze ale jak to wymyśliłeś ? .

[krystian8207]

Zad. 2:
Oznaczmy 3 kolejne boki jako:
a,a+1,a+2
i wysokosc jako h
Bok srodkowy podzielmy na 2 odcinki: x oraz a+1-x
Dla podanego przypadku mozemy zapisac dwa rownania(twierdzenie pitagorasa):
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^{2}+(a+1-x)^{2}=(a+2)^{2} \\ h^{2}+x^{2}=a^{2} \end{cases}}\)
Rozwiązujac uklad wyliczamy:
\(\displaystyle{ x= \frac{a^{2}-2a-3}{2a+2}}\)
Teraz zapisujemy różnicę odcinkow powstalych poprzez przeciecie srodkowego boku wysokoscia:
\(\displaystyle{ a+1-x-x=a+1-2x}\)
Wstawiając x do równania wyliczamy i wychodzi 4. c.n.d.

Zad.5
Wprowadzmy nastepujace oznaczenia:
\(\displaystyle{ |NO|=|OM|=x}\)
\(\displaystyle{ |NC|=|MB|=y}\)
a-bok trojkata
h-wysokość trojkata
Wiadomo ze odcinek MN dzieli wysokosc trojkata w stosunku 2:1
Zatem z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{h}{a}= \frac{ \frac{2}{3}h }{2x}}\)
z tego
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}a \Rightarrow a=3x}\)
Zapisujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ( \frac{1}{3}h)^{2}+( \frac{a-2x}{2})^{2}=y^{2} \\ (a)^{2}=h^{2}+(x+ \frac{a-2x}{2} )^{2}} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} ( \frac{1}{3}h)^{2}+( \frac{x}{2})^{2}=y^{2} \\ (3x)^{2}=h^{2}+( \frac{3}{2}x)^{2} \end{cases}}\)
Końcowo x=y c.k.d.
... 8f22c.html

[vertia]

Wrzucam zadania klas I:
1) W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt przy wierzchołku C jest prosty oraz odcinek BC jest dłuższy od odcinka CA, poprowadzono wysokość CH. Oblicz miary kątów trójkąta ABC, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |HB| - |AH|=|AC|}\)
2) Smok ma 2000 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem 33 głowy lub 21 głów, lub 17 głów, lub 1 głowę. Smokowi odrastają wówczas odpowiednio 48, 0, 14 lub 349 głów. Smok zostanie zabity, gdy wszystkie głowy będą ścięte. Czy rycerz może zabić smoka? Odpowiedź uzasadnij(rycerz może ścinać głowy wielokrotnie).
3) Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 12.
4) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{44,(4)} + \sqrt{2,(7)}= 8,(3)}\)
5) Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x +y =6 \\ y ^{3x+2y-1} =1 \end{cases}}\)

[RVN18]

5) \(\displaystyle{ \begin{cases} x +y =6 \\ y ^{3x+2y-1} =1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x =6-y \\ y ^{3x+2y-1} =y^0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x =6-y \\ 3(6-y)+2y-1=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x =-11 \\ y=17 \end{cases}}\)

[vertia]

RVN18 możliwe są jeszcze wyniki \(\displaystyle{ \begin{cases} x=5\\ y=1 \end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} x=7 \\ y=-1 \end{cases}}\)

[RVN18]

4)
\(\displaystyle{ \sqrt{44,(4)} + \sqrt{2,(7)}= 8,(3)}\)
\(\displaystyle{ 44,(4)=x}\) \(\displaystyle{ 2,(7)= \frac{25}{9}}\)
\(\displaystyle{ 444,(4)=10x}\) \(\displaystyle{ 8,(3)= \frac{75}{9}=\frac{25}{3}}\)
\(\displaystyle{ 400=9x}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{400}{9}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{400}{9}} + \sqrt{2,(7)= \frac{25}{9}} =\frac{20}{3} +\frac{5}{3} =\frac{25}{3}}\)
Możliwe bo ja to robie na gorąco i szczerze mówiąc więcej się skupiam na kodowaniu tych zapisów niż na obliczeniach

[Fizus]

4)\(\displaystyle{ 5 ^{2}+12 ^{2}=169}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{169}=13}\) - długość przeciwprostokątnej
\(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{4}{2}}\)
\(\displaystyle{ r=2[j.]}\)

Ubiegliście mnie z pozostałymi Czy mi się wydaje czy w zadaniu ze smokiem trzeba rozważyć (nie)parzystość głów?

[RVN18]

uprzedziliście mnie :d
w miejsce tego wpisu zaraz 2 zrobie