X Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei - etap

[dszczygiel]

nie za bardzo rozumiem to rozumowanie, poza tym kp1311 źle napisał treść zadania dopiero teraz zauważyłem, ma być: równanie... ma dwa różne pierwiastki to: ...

ja próbowałem to zrobić tak: skoro dwa różne i jest 4-go stopnia to założyłem, że obydwa pierwiastki są stopnia 2-go i następnie skorzystałem z postaci iloczynowej wielomianu: \(\displaystyle{ a_{n}(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn) (gdzie: x1,x2,x3 \neg miejsca \neg zerowe)}\) przemnożyłem porównałem ale głupoty mi powychodziły ;/

[Kalaf]

Eee... nie mam kartki z zadaniami, ale z tego co pamiętam to jednak były równe. I jeżeli tak jest to wszystko ładnie wychodzi, więc raczej równe, nie różne.

[kp1311]

Treść zadań pisałem z pamięci tak więc nie zgadzają się słowo w słowo z tymi z kartek, ale sens został zachowany, pierwiastki miały być równe.

[dszczygiel]

faktycznie ... no to zawaliłem... sorki za zamieszanie

[krystian8207]

Moze zapiszmy rozwiazania zadań:
Poziom I
Zad.1

Ukryta treść:    

Nie jestem na 100% pewien ale zapisze:
x-liczba uczniów
y-wiek nauczyciela
n-średnia wieku uczniow
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \frac{nx}{x}+24=n+24 \\ y= \frac{nx+y}{x+1}+20 \end{cases}}\)
z tego \(\displaystyle{ x=5 i y=f_{n}=n+24}\)

Zad.3

Ukryta treść:    

Odejmujemy stronami i:
\(\displaystyle{ x^{2}-2xy+2y^{2}-2yz+z^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^{2}+(y-z)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y=0 \wedge y-z=0) \Rightarrow x=y=z}\)
Wstawiamy odpowiadajace zmienne i uklad sprowadza sie do rozwiazania rownania:
\(\displaystyle{ x^{2}=100 \Rightarrow (x=10 \vee x=-10)}\)
Zatem rozwiazaniem jest: \(\displaystyle{ (x,y,z)=(10,10,10)=(-10,-10,-10)}\)

Tych z geometria jeszcze nie rozwiazywalem natomiast mam prosbe. Moglby ktos podac rozwiazanie 5 zadania?

[kp1311]

Poziom II
wskazówki:
1.

Ukryta treść:    

uzależnić \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) od \(\displaystyle{ frac{b+c}{2} i r, gdzie r -różnica ciągu,}\)

2.

Ukryta treść:    

zapisujemy ułamek jako \(\displaystyle{ \frac{x}{x^{2} -1}}\) i rozwiązujemy układ dwóch nierówności

3.

Ukryta treść:    

korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\)

4.

Ukryta treść:    

śr. arytmetyczna \(\displaystyle{ \ge}\) śr. geometryczna.

5.

Ukryta treść:    

Przyrównujemy do wielomianu \(\displaystyle{ (x-c)^{2}(x^{2} + dx + e)}\)

W poziomie I ta funkcja w 5, wyglądała jakoś inaczej, w mianowniku był trójmian kwadratowy.

[krystian8207]

Wlasnie tak sie zastanawialem bo w ta funkcja podana nie ma ani najw. ani najm. wartosci.

[kp1311]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{2} +1}}\)
To chyba było takie coś.
W tym wypadku aby wyznaczyć ekstrema postępujesz w ten sposób:
Liczysz wartość dla \(\displaystyle{ x=0}\) potem dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) Możesz zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{2} +1} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{1}{( \sqrt{x} - \frac{1}{ \sqrt{x} } )^{2} + 2 }}\)

Teraz widzisz że mianownik jest większy bądź równy \(\displaystyle{ 2}\), teraz tylko wypisujesz oczywiste wnioski i koniec zadania.

Drugi, mniej ciekawy sposób to użycie pochodnych.

[Anulijka]

mam pytanko: nie wiecie może, kiedy będą wyniki?:)

[dszczygiel]

wyniki były już w dzień konkursu zapytaj swojego matematyka powinien już wiedzieć bo ja np wiem

[iroki]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{2} +1}}\)
Drugi, mniej ciekawy sposób to użycie pochodnych.

Mi się wydaje, że pochode są właściwym i najlepszym sposobem na tego typu zadania. W końcu do tego służą xD.

A co do zadania 4 z poziomu II. Jak ulał pasuje do niego rozwiązanie twierdzeniem Muirheada które ostatnio widziałem w kółku, lub ciągi jednomonotoniczne które również dają szybie rozwiązanie

[adri]

Mi się wydaje, że pochode są właściwym i najlepszym sposobem na tego typu zadania. W końcu do tego służą xD.

Może na lekcji jak rozwiązujesz setny przykład, ale na konkursie myśle że można się oderwać od schematu.
A co do twierdzenia Muirheada to jak ktoś je znał to zadanie miał za darmo, ale nie było aż tak trudne aby wyciągać tak grube działo.

[Anulijka]

Nie, ja swój wynik znam, 26 punktów mam;). Tylko chodzi o to, żeby ukazały się miejsca i termin rozdania nagród;).

[rumcajs]

jest już tegorocznej edycji wraz z terminem zakończenia.

[Qave]

Wyniki w punktach dostali tylko dyrektorowie szkół? Jest lista laureatów/wyróżnionych i chce wiedzieć ile mi zabrakło do laureata... ;p