[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Lilav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 2 maja 2005, o 17:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Lilav » 27 mar 2006, o 19:29

W 3. juz nie pamietam jak tam dokladnie mi wyszlo ale bodajże dla n ε .

Ale głowy nie dam.

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 15 kwie 2006, o 20:08

A mógłby ktoś jeszcze rozpisać(zrobić) zadanie 2 z pierwszego poziomu ??

Skrzypu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Skrzypu » 21 kwie 2006, o 12:57

2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
\(\displaystyle{ (n+2)(n-7)(n-9)(n-14)}\)

Widać, że dokładnie dwa z tych czynników dzielą się przez 2, więc cała liczba dzieli się przez 4. Również przynajmniej jeden z czynników dzieli się przez 3 (wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ n}\) kolejno \(\displaystyle{ 3k,3k+1,3k+2}\), wtedy to łatwo zauważysz, a skoro dzieli się przez 3 i 4 to dzieli się przez 12

Awatar użytkownika
johny_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 19 kwie 2005, o 18:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: johny_f » 22 kwie 2006, o 14:37

jak tam po dzisiaj ?

Aura
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 300
Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z xiężyca
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 14 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Aura » 22 kwie 2006, o 16:31

U mnie ok, może będzie max pktów :]

Awatar użytkownika
matti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 6 kwie 2006, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: matti » 22 kwie 2006, o 17:58

Ale wypas właśnie sie dowiedziałem, że mam maxa (II poziom) ciekawe kiedy Rzeszów .
Jak ktoś może to niech zapoda zadania z I poziomu bo tak z ciekawości chciałbym sobie zobaczyc.

Aura
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 300
Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z xiężyca
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 14 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Aura » 22 kwie 2006, o 20:28

Rzeszów jest 3 czerwca http://www.ko.rzeszow.pl/zalaczniki/dok ... 200502.doc
a kartkę z zadaniami już komuś dałam. Była jedna nierówność, jedna geometria, a reszta to teoria liczb.
Cztery na 5-15 minut, a najdluzej czasu(i najmniej miejsca) zajelo mi to:
Udowodnij, że jeżeli n można przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych niebędących zerami, to 5n również ma tę własność.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 22 kwie 2006, o 20:38

Prosty dowodzik:

\(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\), wiec

\(\displaystyle{ 5n = 5a^2 + 5b^2 = (2a+b)^2 + (2a-b)^2}\), qed.

Aura
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 300
Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z xiężyca
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 14 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Aura » 22 kwie 2006, o 20:48

Exactly, just the same I wrote :P

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Lorek » 22 kwie 2006, o 21:00

Tomasz Rużycki pisze: \(\displaystyle{ (2a+b)^2 + (2a-b)^2}\), qed.
A nie powinno być \(\displaystyle{ (2a+b)^2 + (a-2b)^2}\), ?

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Tomasz Rużycki » 22 kwie 2006, o 21:02

Powinno, przepraszam, machnalem sie przy pisaniu

Zamiencie sobie 5 na 443557 i pokazcie teze zadania ^^

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: liu » 22 kwie 2006, o 21:11

Proponuje tez troche zmieniona (i chyba nawet prostsza) wersje zadania - niech n bedzie suma dwoch kwadratow liczb naturalnych, wykazac, ze dla nieparzystych k liczba nk jest roznica sum dwoch kwadratow liczb naturalnych (tzn. \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - (z^2 + t^2)}\), \(\displaystyle{ x,y,z,t\in\mathbb{N}}\).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Lorek » 22 kwie 2006, o 21:11

Bardzo ciekawy wynik wychodzi (wprost szatański)

Awatar użytkownika
TiWi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 27 maja 2005, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: TiWi » 25 kwie 2006, o 14:44

matti pisze:Ale wypas właśnie sie dowiedziałem, że mam maxa (II poziom)
Witaj w klubie, ja też

Awatar użytkownika
Uzo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1137
Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 139 razy

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Uzo » 26 kwie 2006, o 14:11

No to może zamieszcze część zadań (bo nie chce mi się piątego rysować) II poziomu Może ktoś podzieli się jak sobie z nimi poradził ,albo co o nich mysli

1. Wykaż ,że jeżeli ax � +bx+c jest liczbą całkowitą dla dowolnego x ε C , to a,b,c nie muszą być liczbami całkowitymi.

2. Wykaż ,że jeżeli r jest długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a,b,c to suma wysokości w tym trójkącie wynosi \(\displaystyle{ r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\).

3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1+x+x^{2})^{2}=\frac{a+1}{a-1}(1+x^{2}+x^{4})}\) z niewiadomą x , jeśli |a| ≥ 2.

4. Wykaż ,że jeżeli wielomian w(x)=x � +px+q , gdzie q ≠ 0 ma 3 pierwiastki to p

ODPOWIEDZ