Strona 1 z 3

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 13:42
autor: Uzo
Zamieszczam tu zadania z VI PKM , poziom II , co prawda już po fakcie ,ale może ktoś zechce przedstawić tu swoje propozycje rozwiązań.

1. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania \(\displaystyle{ 2x^2 -(m-1)x+(m+1)=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ |x_1-x_2|=1}\) ?

2. Udowodnij ,że liczba postaci \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3} +4n}\) dzieli się przez 120.

3. Trzy kolejne liczby całkowite są długościami boków trójkąta, a także sześciany tych liczb są długościami boków pewnego trójkąta. Wykaż ,że takich trójkątów jest nieskończenie wiele. Dla jakich trójek kolejnych liczb całkowitych będących długościami boków trójkąta ich sześciany nie są długościami boków trójkąta?


4. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wiedząc, że stosunek podstaw tego trapezu jest równy 2, a jego pole 45, oblicz pole każdego z tych trójkątów.

5. Niech a,b,c oznaczają długości boków pewnego trójkąta. Czy równanie \(\displaystyle{ b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2 )x+c^2 =0}\) ma pierwiastki rzeczywiste ?

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 14:29
autor: Tomasz Rużycki
1) \(\displaystyle{ |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}\).
2) \(\displaystyle{ \mbox{Ta suma} = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\).
3) Nierownosc trojkata.
4) Pewnie jakos z przyrownywania pol etc..
5) Nierownosc trojkata.

Zadan 3,4,5 nie chcialo mi sie robic do konca, ale wydaje mi sie, ze wyjda.

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 17:29
autor: Uzo
a ja w pierwszym kombinowałem ze wzorów Viete'a w ten sposób |x1-x2| = \(\displaystyle{ \sqrt{(x1+x2)^{2} - 4x1x2}}\)
:wink:

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 18:13
autor: Vixy
dajcie jakas wskazówke do zadania 4...

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 19:23
autor: Uzo
w 4 te pola to mi powychodziły chyba 5,10,10,20 ale czy to jest dobrze ? Oto jest pytanie ale bawiłem się coś z porównywaniem ich

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 19:23
autor: Tomasz Rużycki


Na wstepie zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \Delta ECD\sim \Delta AEB}\), wiec \(\displaystyle{ x_2 = 2x_1}\).

\(\displaystyle{ S_{ABCD} = 45 = \frac{3a}{2}\cdot (x_1+x_2} = \frac{9ax_1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ ax_1=10}\).

\(\displaystyle{ S_{ECD} = \frac{1}{2}ax_1 = 5}\),
\(\displaystyle{ S_{ABE} = \frac{1}{2}2a\cdot 2x_1 = 2ax_1 = 20}\).

\(\displaystyle{ S_{ACD} = \frac{1}{2}a\cdot 3x_1 = 15}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE} = S_{ACD}-S_{CDE} = 15-5=10}\), a \(\displaystyle{ S_{ADE}+S_{CEB} = 20}\), wiec \(\displaystyle{ S_{CEB} = 10}\).

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 19:26
autor: Uzo
czyli jednak No to jestem z siebie dumny , tylko szkoda ,ze tego nie uzasadniłem

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 21:01
autor: Lilav
Fajny konkurs, a zadanie 4 moim skromnym zdaniem najłatwiejsze.

Jeszcze nie kminiłem 5.

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 21:57
autor: Uzo
w 5 chyba wyszedł mi wzór skróconego mnożenia i wyszło ,że równanie ma pierwiastki rzeczywiste , rzecz jasna według mnie a moge sie mylic

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 22:16
autor: szpieg
hehe ale to rownanie nie bardzo ma pierwiastki rzeczywiste .

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 23:17
autor: LecHu :)
To ja doloze zadania dla pierwszej klasy:
1.Rozwiaz w rzeczywistych rownanie \(\displaystyle{ (x^{2}+1)(y^{2}+1)=(x+y)^{2}+1}\).
2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
3.Wykaz ze jezeli a,b,c sa liczbami dodatnimi to:
\(\displaystyle{ ab+bc+ac>=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}}\).
4.Wykaz ze nie istnieje trojkat o wysokosciach 1,2,3.
5.W trojkacie ABC przedluzono przeciwprostokatna AB poza punkt a odkladajac odcinek AD o dlugosci AC oraz poza punkt B odkladajac odcinek BE o dlugosci BC. Uzasadnij ze kat DCE=135 stopni

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 25 mar 2006, o 23:36
autor: Tomasz Rużycki
A, napisze sobie jeszcze 3., i juz sie nie odzywam

\(\displaystyle{ ab+bc+ca=(\sqrt{ab})^2 + (\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ca})^2 q \sqrt{abbc}+\sqrt{bcca}+\sqrt{caab} = b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab} + a\sqrt{bc}}\), c. k. d.

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 26 mar 2006, o 09:57
autor: Uzo
to jak będzie z tym 5 na II poziomie ??

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 26 mar 2006, o 11:24
autor: Tomasz Rużycki
\(\displaystyle{ \Delta = (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)}\)

[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny

: 26 mar 2006, o 18:23
autor: Uzo
no cos łapie a jeszcze może ktoś coś na temat 3 ??