IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei

[szymek12]

Etap powiatowy już 28 marca.
Temat wiodący IX PKM: Potęgi, działania na potęgach, wzory związane z potęgami.
Wrzucajcie zadania i zapraszam do rozwiązywania.

[szymek12]

Jakby ktoś miał zadania z poprzednich edycji to prosiłbym o przesłanie: j_szymon1@wp.pl-- 1 marca 2009, 17:32 --Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p ^{q}-q ^{p}=1}\).

[xanowron]

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p ^{q}-q ^{p}=1}\).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ p ^{q}-q ^{p}=1 \Leftrightarrow p ^{q}=1+q ^{p}}\)
Stąd wynika że jedna z liczb musi być parzysta, a skoro też pierwsza to musi być równa \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ 1^{o}}\)
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ 2^{q}=q^{2}+1}\)

Tu nie miałem pomysłu jak pokazać, że nie ma takich liczb pierwszych \(\displaystyle{ q}\) spełniających to równanie, ale spróbowałem zastosować to, że kwadrat liczby naturalnej przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 0}\),\(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ q^{2}=2^{q}-1}\)

Czyli, że:

\(\displaystyle{ 2^{q} \equiv1(mod5) \vee 2^{q} \equiv 2(mod5) \vee 2^{q} \equiv 0(mod5)}\)

Ostatnie odpada, bo \(\displaystyle{ 2^{q}}\) nigdy nie będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), bo w rozkładzie na czynniki pierwsze ma same dwójki.

A wiadomo też, że:

\(\displaystyle{ 2^{4k+1} \equiv 2(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k+2} \equiv 4(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k+3} \equiv 3(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k} \equiv 1(mod5)}\)

Więc mamy, że:
\(\displaystyle{ q=4k \vee q=4k+1}\)

Pierwsze oczywiście odpada, a co do drugiego nie wiem jak zrobić (chyba, że podstawienie kilku początkowych liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) i zauważenie, że wartość jednej strony równania rośnie o wiele szybciej niż druga, wraz ze wzrostem wartości \(\displaystyle{ q}\) wystarczy )

\(\displaystyle{ 2^{o}}\)

\(\displaystyle{ q=2}\)

W tym przypadku analogicznie do pierwszego z tym, że otrzymamy, że \(\displaystyle{ p=4k+3}\) i jedynym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ k=0 \Rightarrow p=3}\), a dla większych \(\displaystyle{ k}\) potrafię "pokazać" nieprawdziwość równania tylko w sposób jak w końcówce pierwszego przypadku :/

Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (p,q)=(3,2)}\)

[XMaS11]

Do przedmówcy:

Ukryta treść:    

Jak już masz to, że jedna jest parzysta, to dalej inukcyjnie pokazac, że
\(\displaystyle{ 2^q}\) jest duużo większe od pewnego momentu (od q=5 na oko ;d)

[xanowron]

Rozumiem, że poza tym rozumowanie jest w porządku? Coś takiego jak kongruencja stosuję pierwszy raz i nawet nie wiem do końca czy prawidłowo, a chciałem się upewnić
Dzięki za podpowiedz

[gribby]

Kompletnie nie czaję tego sposobu

[XMaS11]

Błędu nie ma, ale użycie kongruencji niewiele dało, lepiej od razu przejśc do szacowania nierównością, przynajmniej według mnie.
Pozdrawiam.

[binaj]

ja to bym tak rozwalił
sprawdzamy ręcznie dla \(\displaystyle{ q=2}\), następnie zakładamy, ze \(\displaystyle{ q}\) jest nieparzyste:
\(\displaystyle{ q^2=2^q-1 \Leftrightarrow (q-1)(q+1)=2(2^{q-1}-1)}\)
a teraz już widzimy, że lewa strona jest podzielna przez 4 a prawa nie

[LanskapuchA]

U mnie dziś odbył się etap szkolny. Na poziomie klas II były 3 zadania wymyślane przez nauczycieli ze szkoły.

zad.1
Wykaż, że funkcja f: R \(\displaystyle{ \rightarrow}\) R określona wzorem f \(\displaystyle{ \left(x\right) = \left( \sqrt[n]{6+ \sqrt{35} } \right) ^{x} + \left( \sqrt[n]{6- \sqrt{35} } \right) ^{x}}\) jest parzysta dla wszystkich n \(\displaystyle{ \in}\)N, n>1. (6p)

zad.2
Dla jakich wartości parametru m\(\displaystyle{ \in}\) R równanie \(\displaystyle{ \left(x^{2}-2x+m-2\right) \left(\left|x-1\right|-m+1\right)=0}\) ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste? Oblicz te pierwiastki. (6p)

zad.3
a) Wykaż, że jeżeli w czworokącie wypukłym ABCD przekątne przecinają się w punkcie E i są do siebie prostopadłe oraz trójkąty AEB i CED mają równe pola, to trójkąty AED i CEB są podobne. (3p)
b) Wykaż, że jeżeli punkt M należy do przekątnej Ac równoległoboku ABCD i A\(\displaystyle{ \neq}\)M i C\(\displaystyle{ \neq}\)M to trójkąty ABM i ADM mają rowne pola. (3p)

[frej]

1.\(\displaystyle{ 6+\sqrt{35}=\frac{1}{6-\sqrt{35}}}\)
2. Albo w jednym jest jedno, w drugim dwa, albo w obu są dwa, z tym, że jedno się powtarza.

[kolanko]

jak zwykle w sobote... jakby na tygodniu nie mogli zrobic ... w jakiej szkole ? w mojej ? ZSE hetmanska 120 ?

[rumcajs]

Piszemy (okręg rzeszowski) w IV LO na Dąbrowskiego.
A co do weekendów, to teraz chyba jest jakiś trend na konkursy. tylko konkurs Marszała był w normalny dzień, a tak wszystkie w soboty albo niedziele. Lepiej pisać na tygodniu - przepadają lekcje
Szkoda, że ten konkurs wypada wtedy co finał olimpiady z AGH z fizy.

[kolanko]

To nie jest podzielone czasem na szkoły? na kilka ? czy wszyscy pisza na dąbrowskiego ?

[rumcajs]

Ty piszesz u siebie, a ja w IV LO Obydwaj mieliśmy rację

[kolanko]

Iwona Dyderska moja nauczycielka Fajna Kobieta, ciekawe czy zagląda tutaj , no dobra mielismy racje ale w finale widzimy sie w mojej szkole ok ?