Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

[krzysiekm13]

Witam. Mam zadanie które na pierwszy rzut oka nie wydaje się trudne, aczkolwiek moje rozumowanie i wynik nie zgadza sie z rozumowaniem autorów książki mianowicie:

zad.1
Rzucamy symetryczną monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie na tę samą stronę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się co najmniej po n rzutach.

Zadanie z matury 1993 bodajże

[mr_crazy]

schemat Bernoulliego jak nic:P

[enigm32]

zad.1 Rzucamy symetryczną monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie na tę samą stronę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się co najmniej po n rzutach.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych wyglądałaby tak:
{{O,O}, {R,R}, {O,R,R}, {R,O,O}, {R,O,R,R}, {O,R,O,O},...}
Prawdop. każdego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\), gdzie k - ilość rzutów
No i teraz albo przeciwnym, albo z szeregu geom.:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}+...=\frac{1}{2^{n-2}}}\)

Zgadza się?-- 29 marca 2009, 14:36 --

schemat Bernoulliego jak nic:P

No nie wiem, czy to dobry pomysł...
Jak chciałbyś użyć tu schematu B.?

[krzysiekm13]

nie zgadza się niestety... Ja głowiłem się nad tym z mamą matematyczką i doszliśmy do tego co ty bodajże, a autorzy zaskoczyli nas innym wynikiem.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P=1- \frac{1}{ 2^{n-1} }}\)

[tomekdd]

Prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie nie skończy się po n rzutach wynosi \(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2})^n}\). Ta 2 na początku jest stąd, że albo rzucanie zacznie się od orła albo od reszki.
No to ostatecznie wychodzi że \(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}}\).

[mr_crazy]

enigm32 - nie wiem nie probowalem zrobic, ostatnecznie zabralem sie do roboty zwykla kombinatoryka i wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{2^{n} - 2 }{2^{n}}}\)

[szymek12]

Prawdopodobieństwo:
1. Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są parami niezależne i jednocześnie nie zachodzą. Prawdopodobieństwo zachodzenia zdarzeń \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\)jest równe \(\displaystyle{ p}\). Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(p)}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\).
2. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są niezależne to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) też są niezależne.-- 29 marca 2009, 18:53 --3. W pierwszej urnie znajdują sie 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 1 biała i 4 czarne. Z urny pierwszej przenosimy jedną kulę do drugiej (bez oglądania), a następnie z drugiej losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwzsym losowaniu pobrano kulę białą, jeśli wiadomo, że w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną?

[enigm32]

1. Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są parami niezależne i jednocześnie nie zachodzą. Prawdopodobieństwo zachodzenia zdarzeń \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\)jest równe \(\displaystyle{ p}\). Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(p)}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\).

Z zasady włączeń i wyłączeń (dla 3 zdarzeń nietrudno wyprowadzić też):
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)=-3p^2+3p=P(p)}\)
Badanie przebiegu zmienności to już zabawa, szczególnie, że to funkcja kwadratowa.

-- 29 marca 2009, 19:15 --

2. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są niezależne to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) też są niezależne.

\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C)=P((A \cap C) \cup (B \cap C))=P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(C)+P(B) \cdot P(C)-P(A )\cdot P(B) \cdot P(C)=P(C)\cdot (P(A)+P(B)-P(A \cap B))=P(C) \cdot P(A \cup B)}\)
, c.b.d.u.

-- 29 marca 2009, 19:29 --

3. W pierwszej urnie znajdują sie 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 1 biała i 4 czarne. Z urny pierwszej przenosimy jedną kulę do drugiej (bez oglądania), a następnie z drugiej losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwzsym losowaniu pobrano kulę białą, jeśli wiadomo, że w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną?

\(\displaystyle{ B_1}\) - w 1. losowaniu wybrano kulę czarną
\(\displaystyle{ B_2}\) - -||- białą
\(\displaystyle{ A}\) - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną
\(\displaystyle{ P(B_2|A)=\frac{P(B_2 \cap A)}{P(A)}=\frac{P(B_2) \cdot P(A|B_2)}{P(B_1) \cdot P(A|B_1)+P(B_2) \cdot P(A|B_2)}}\)
Z podstawieniem już chyba nikt nie będzie miał kłopotów. -- 29 marca 2009, 19:31 --Nad tym zadaniem z monetą to się jeszcze zastanowię, bo nie jestem przekonany.

[krzysiekm13]

Czyli widzę że jednak nie takie oczywiste jest to zadanie skoro zwróciłem uwagę takiego matematyka jak enigm32

[szymek12]

1. \(\displaystyle{ 93 \frac{1}{3}}\)%pewnych wyrobów nadaje się do użytku, w tym \(\displaystyle{ 75}\)% jest pierwszego gatunku. Oblicz szansę tego, że pobierając w sposób losowy \(\displaystyle{ 3}\) wyroby(ze zwracaniem), dwa będą pierwszego gatunku.
2. Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Ile strzałów należy oddać, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,8}\) cel był trafiony co najmniej dwa razy?

[mr_crazy]

szymek12 - w zadaniu 1 chodzi oczywisice o %?

[szymek12]

Tak,sorry za pomyłkę.-- 30 marca 2009, 19:35 --Już poprawiłem.

[lina2002]

2. Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Ile strzałów należy oddać, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,8}\) cel był trafiony co najmniej dwa razy?

Robimy zdarzenie przeciwne \(\displaystyle{ A'}\) - cel trafiony 0 lub 1 raz. \(\displaystyle{ n}\) - liczba strzałów. Ze schematu Bernoulliego:
\(\displaystyle{ P(A') ={n\choose 0} \cdot \frac{1}{2 ^{n} }+{n\choose 1} \cdot \frac{1}{2 ^{n} } = \frac{n+1}{2 ^{n} }}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(A)\geqslant0,8\iff P(A')\leqslant0,2}\)
Tak więc \(\displaystyle{ 5n+5\leqslant 2 ^{n}}\). Z tego \(\displaystyle{ n\geqslant 7}\)

[enigm32]

Z tego \(\displaystyle{ n\geqslant 7}\)

Chyba \(\displaystyle{ n \ge 5}\).

[lina2002]

Taki nieistotny szczegół. W końcu skoro \(\displaystyle{ n\ge 5}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ n\ge 7}\)